I. — RÈGLE DES SIGNES DE DeSCARTES

1. La règle des signes de Descaries consiste dans les deux propositions suivantes :

F(j:) désignant un polynôme ordonné suivant les puissances de x^ le nombre des racines positives de Véquation F(a:) = o est au plus égal au nombre des variations du polynôme F(a:).

Si le nombre des racines positives est inférieur au nombre des variations du polynôme, la différence est un nombre pair.

Pour établir la première proposition, je démontrerai que, si elle est vraie quand le polynôme qui forme le premier membre de l'équation présente (m — i) variations, elle est également vraie quand ce polynôme présente m variations. La proposition sera, par suite, établie dans toute sa généralité, puisqu'elle a lieu évidemment dans le cas où tous les termes du polynôme sont de même signe.

Soit donc

un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes ou décroissantes de X et présentant m variations. L'équation

OÙ a désigne un nombre réel arbitraire, a les mêmes racines positives que l'équation

et la fonclion qui coiistiliic son premier membre. demeure finie et continue, quand x croît indéfiniment à partir d'un nombre positifs aussi petit qu'on le veut. On peut donc appliquer le théorème de Rolle entre les limites o et -t- oo , et l'on voit que le nombre des racines de l'équation (i) est au plus supérieur d'une unité au nombre des racines de l'équation a:~^"'*"*^[x F' (:f) — aF(x)] = o, ou encore de l'équation

(2) ;rF'(^) — aF(ar) = o.

Les coefficients de cette équation sont respectivement

A(/? — a), ..., M(r^a), N{s — ql), ..., R(a — a).

Le polynôme F( j:) présentant m variations, supposons que M et N soient de signes contraires, et choisissons le nombre arbitraire a de telle sorte qu'il se trouve compris entre les nombres r et 5 ( * ) ; on voit que, dans la suite précédente, les coefficients numériques des quantités A, ..., M et ceux des quantités N, ..., R sont de signes contraires.

Le premier membre de l'équation (?,) présente donc autant de variations que la suite

c'est-à-dire (m — 1) variations; il en résulte que cette équation a au plus (m — i) racines positives et l'équation (i) au plus m racines positives. La proposition 1 est donc complètement établie.

Pour démontrer la proposition 11, il suffit, comme on sait, de remarquer que le nombre des racines positives de l'équation (i) et le nombre des variations du polynôme V(x) sont toujours de même parité.

2. La démonstration précédente ne suppose en aucune façon que les exposants />,..., r, 5, ..., w soient des nombres entiers; ils peuvent être fractionnaires ou même incommensurables.

(') On pourrait prendre plus simplement a égal à /• ou à s; mais, dans quelques applications des considérations précédentes, il est utile de pouvoir, entre certaines limites, disposer de la valeur de a.

Ainsi l'équation

présentanl trois variations, a au plus trois racines positives^ il est clair, du reste, qu'elle ne peut avoir de racine négative.

On peut supposer également queF(a?) soit une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x. Si elle est convergente pour toutes les valeurs positives de x plus petites qu'un nombre donné a, en cessant d'être convergente pour x = a, il résulte de la démonstration précédente que le nombre des valeurs positives de Xy pour lesquelles la série F(x) est convergente et a pour valeur zéro y est au plus égal au nombre des variations de la série.

De plus, si le nombre des valeurs de x qui jouissent de cette propriété est inférieur au nombre des variations de la série, la différence est un nombre pair.

En etTet, le nombre des variations des termes de la série étant supposé flni (ce qu'il faut nécessairement supposer pour pouvoir appliquer le théorème précédent), F(x) est égal à un polynôme 4>(x) suivi d'un nombre indéfini de termes ayant tous le] signe du dernier terme de ^(x). Pour x = o, lu série a le signe du premier terme de ^{x). Quand x tend vers la valeur de a, ^{x) tend vers une valeur finie; les termes complémentaires, qui sont en nombre infini, ont tous le signe du dernier terme de ^(x), et leur valeur absolue va en croissant indéfiniment, puisque la série est divergente pour j: = rt.

^Donc, quand x s'approche indéfiniment de a, la série de^(jc) croît indéfiniment en valeur absolue en gardant le signe du dernier terme ^{x)\ le nombre des variations de la série et le nombre des racines considérées sont par suite de même parité, d'où résulte immédiatement la proposition susénoncée.

Des considérations toutes semblables s'appliquent au cas où F(x) est une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de X, et encore à celui où F(x) est une série procédant à la fois suivant les puissances croissantes et suivant les puissances décroissantes de la variable.