Soit

un polynôme entier du degré m; je considérerai la suite des poly-

nômes

fm-~t(3c) = Aoar«-f- Ajx -4- A„

/^(x) = Aoar'«-»-f- A, a:'»"^» -f- . . .-h A;„,

/(x) = AqX"* -f- AiiF'»»-»H-. . .-h A/n-iar-h Am,

dont le dernier est précisément le polynôme donné.

Les valeurs que prennent ces polynômes, pour une valeur donnée de la variable égale à a, se calculent facilement par voie récurrente; on a, en effet, la relation bien connue

et les quantités /,n(a), /;„i (a), ^ •<, f\{(i)^ f{a) se rencontrent d'elles-mêmes quand on veut obtenir le résultat de la substitution de a dans/(j:).

Cela posé, on peut énoncer la proposition suivante :

Si a est un nombre positifs le nombre des variations des termes de la suite

fm{a), /;,t^,(a), /,„-i(a}, ..., Ma), f{a)

est au moins égal au nombre des racines de V équation f{x) = o qui sont supérieurs à a, et, sUl est plus grand, la différence de ces deux nombres est un nombre pair,

Pour la démontrer, je considère l'identité

pour des valeurs de x supérieures à a, le second membre est développable en une série convergente procédant suivant les puissances décroissantes de .r, et Ton a

Le nombre des valeurs de jj, pour lesquelles la série est convergente et a pour valeur zéro, est précisément le nombre des racines de l'équation y(:r) = o qui sont plus grandes que a\ ce nombre, en vertu de la proposition fondamentale que j'ai démontrée plus haut, est au plus égal au nombre des variations du second membre, lequel se réduit évidemment au nombre des variations des termes de la suite

d'où résulte le théorème énoncé précédemment. Comme application, je considérerai l'équation

f{x) = x^ — Bar' -h x^ — 8ar — lo = o.

Elle n'a pas de racines négatives; en calculant successivement le résultat de la substitution dans le premier membre des nombres I, 2 el 3, on forme le Tableau suivant :

Uix).

/tU)

/li^-).

/(jr).

-ha

-hl

-hi37

Tous les nombre relatifs à -f- 3 étant positifs, on en conclut d'abord qu'il n'y a aucune racine de l'équation qui soit supérieure à -f- 3 ; de plus, les nombres relatifs à 4- 2 présentant une seule variation, on est certain qu'il y a une racine comprise entre 4- 2 et -4- 3 et qu'il n'y en a qu'une. D'ailleurs, les nombres relatifs à ■+- 1 ne présentant non plus qu'une variation, on en conclut qu'il n'y a qu'une racine supérieure à -f- 1 : c'est précisément celle que

nous avons séparée; si enfin on considère la transformation en ->

ior*-f- 8^7* — j"2-h 3a:* — i = o,

la substitution de -f- 1 donne la suite de nombres 4- 10, 4- 18, 4-17, 4-20, 4-19, qui ne présente aucune variation. L'équation n'a donc aucune racine inférieure à 4- i et, par suite, a une seule racine positive comprise entre 4- 2 et 4- 3.

4. La proposition précédente peut encore s'énoncer d'une autre façon.

Le nombre a étant positif, il est clair que les quantités

ont respectivement les mêmes signes que les quantités fm{à)i /iM-i(«)î/m-2(«)> • ••; nous pouvons donc dire que le nombre des racines de l'équation y*(x) = o est au plus égal au nombre des variations des termes de la suite

Aoa"», Aca^'H-Aia"»-*, ..., Aoa"*H- Aia"»-»-»-.. .-4- A|„iaH- A

En général, P-|- Q -f- R-l- S -♦-. .. désignant une suite quelconque de termes, j'appellerai nombre des alternances de cette suite le nombre des variations de la suite

P, P-4-Q, P-t-Q-hR, P-hQ-hR-4-S, ....

Cette définition étant posée, le théorème précédent peut s'énoncer de la façon suivante :

Soit le polynôme

où le second membre est ordonné suivant les puissances décroissantes de x, le nombre des racines de Véquation F(jr) = o, qui sont supérieures au nombre positif a, est au plus égal au nombre des alternances de la suite

et si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre fHur,

\a\ démonsiralion que j'^i donnée de ce théorème suppose évidommonl que les nombres x, ,3, y, ... sont entiers et positifs, mais il osl fiicilo do voir que cette restriction est inutile.

En premier liou^ si quelques-uns étaient motifs, en multipliant F^x^ par une puissance de .r conwnablement choisie (ce qui n^allèrv pas le nombre des racines positives de Tèquation), on |Hmnrail ï>fndn* tous ces o\|H>sants jH^silifs.

En second lieu« si quoIquesMins dos nomhivs x« â, 7. • • • étaient fraclionnaif^s^ on |HHinrait les rvndre entiers en changeant j: en

x^f to étant le plus petit commun multiple des dénominateurs

des nombres a, P, y, La proposition a donc lieu, même quand

les exposants sont négatifs ou fractionnaires, et, par un raisonnement connu, on en déduit qu'elle subsiste encore lorsque les exposants sont incommensurables.

Rien n'empêche même de supposer que le nombre des termes de la fonction F(^) soit illimité, pourvu que la série composée de ses termes soit convergente pour :r = a,

6. On peut chercher une limite du nombre des racines positives d'une équation y(j:) = o qui sont inférieures à un nombre

f(x) positif a, en considérant l'expression -^^ — — qui, pour toutes les

valeurs de x comprises entre zéro et a, est développable en une série procédant suivant les puissances croissantes de la variable. La marche à suivre est exactement celle que j'ai suivie précédemment et, sans m'arréter aux détails de la démonstration, j'énoncerai de suite la proposition fondamentale suivante :

Etant donné le polynôme

oà le second membre est ordonné suivant les puissances croissantés de x et où d^ ailleurs les exposants sont des quantités réelles quelconques, positives ou négatives^ comme nsurables ou incommensurables, le nombre des racines positives de l'équation F(j?) = o qui sont inférieures à un nombre positif donné a est au plus égal au nombre des alternances de la suite

Aa«-f-BaP-f- GaY -+-...-+- La^,

ety si ces deux nombres diffèrent^ leur différence est un nombre pair (*).

(*) Le cas où F(â?) est ordonné suivant les puissances décroissantes de x donne également lieu à la proposition suivante :

Le nombre des racines positives de l'équation ¥{x) = o qui sont supérieures à Vunité est au plus égal au nombre des alternances de la suite

et, si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre pair.

lO ALUKBltE.

Celle proposilion subsisle quand le nombre des termes de F{x) est illimité, pourvu que la série composée de ces termes soit convergente pour X = a\ le nombre de ces variations sera du reste évidemment fini, si la série tend, pour x = a^ vers une limite différente de zéro.

Je mentionnerai, comme cas particulier et à cause de son importance dans les applications, le corollaire suivant:

Le nombre des racines de l'équation F(j:) = o qui sont comprises entre o et -^i est au plus égal au nombre des alternances de la suite

et, si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre pair,