PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

c'est Téquation relative aux cylindres d'une longueur infinie de chaque côté de Torigine des ii et des z; et Ton voit que ce cas est à fort peu près celui de Tanneau quand le point attiré est voisin de sa surface.

Cette équatîon donne, en l'intégrant,

<p (a) et \[/ (il) étant des fonctions arbitraires de u. On peut mettre cette expression de w, sous la forme suivante :

V =f ( tt-f- 2 . yj — i) ■+- \/ — 1. F ( tt -f- z . \/^^)

-h/(tt — z.\/ — i) — Sj — i.F{u — z.\/ — i);

f. (a) et F (il) étant des fonctions réelles de u. Si la figure génératrice du cylindre est formée de deux parties égales, et semblables de chaque côté de l'axe des a, alors l'expression de V reste la même, en y changeant le signe de z; ainsi l'on a, dans ce cas,

Pour déterminer la fonction / (u) , il suffit de connaître la valeur de V lorsque z=o, ou lorsque le point attiré est sur le prolongement de Taxe des a; et l'on verra bientôt que la détermination de cette fonction se réduit aux quadratures des courbes.

La valeur de V relative aux cylindres ne doit être considérée

que comme une approximation par rapport aux anneaux ; mais , en la substituant dans l'équation (i), il est facile d'en conclure des valeurs de V successivement plus approchées. Si Ton fait, dans cette équation ,

u-hz.y — 1=5, u — z.y/ — 1=/,

elle deviendra

( ddv \ I \(dv\ (dr\\

' \ dsds'J "•" 2a+s+s' '\\ds )~^ [ds'J y

Soit

on aura, en comparant les puissances semblables de -, les équations suivantes :

= etc.

(ddr \

• [ds ds'] '

(ddr\ , \idr\ . [dr\\

'\ds ds'j'^'^'Wds )'^\ds')\'

'\drd7y''\\ds r\ds')\ k '\\ds )'^\ds')s

Ces équations donneront, en les intégrant, les valeurs de F', V y etc. Pour en déterminer les fonctions arbitraires, nous supposerons, pour plus de simplicité, que la figure génératrice de Tanneau est égale et semblable de chaque côté de Taxe des u; ce qui réduit à une seule les fonctions arbitraires de chacune des valeurs de F', V\ etc. Pour les obtenir, il suffira de connaître ces valeurs, lorsque le point attiré est placé sur le prolongement de Taxe des dltonsidérons une ligne circulaire parallèle au plan qui, passant par Taxe des u, est perpendiculaire à la figure génératrice ; supposons que le centre de cette circonférence soit sur la droite qui passe par le centre de Saturne, perpendiculairement à ce plan. Nommons j la hauteur de ce centre au-dessus de ce plan; a + Xy le rayon de cette circonférence, et tzr Tangle que ce rayon forme avec le plan de la figure génératrice qui passe par le point attiré: soit a + w la distance de ce point au centre de Saturne. Cela posé, la somme des molécules de la circonférence, divisées par leurs distances au point attiré, sera

(a+j?) . d'us

\/(a+o)*— 2 . (a-htt).(a+ar). cos.tir+(«-4-a?)*+7'