PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME
figure génératrice; d'où il est facile de conclure que dans le cas où cette figure est une ellipse, ces attractions sont;
et
V— 1 '] / IZZ TTT-TTi
Si le point attiré est à la surface du sphéroïde, où Ton a tt*-hX*.z*=:ft% elles deviennent
, et-- .
45. Supposons maintenant que Vanneau soit une masse fluide homogène, et que sa figure génératrice soit une ellipse; nommons a la distance du centre de cette ellipse à celui de Saturne, a étant supposé très-grand par rapport aux dimensions de l'ellipse. Concevons que l'anneau tourne dans son plan autour de Saturne, et nommons g la force centrifuge due à ce mouvement de rotation, à la distance i de l'axe de rotation. Cette force, relativement à la molécule de l'anneau, dont les coordonnées sont a et z, sera (a+o).<y;et, en la multipliant par l'élément de sa direction , le produit sera (a -}-u).^d[u. L'attraction de Saturne sur la même molé-
cule est 7 — : — r; — - , 5 étant la masse de Saturne; en la multipliant
[a+uy+z* ^
par l'élément de sa direction, qui est égal à — rf.y/(a-l-tt)'-+-z% on aura, en négligeant les carrés de u et de z,
S. du 2S,uda S.zdz
Présentement, la condition générale de l'équilibre est que la somme de tous ces produits soit nulle; on a donc
\S )i.l4w 2S ) j {/l'ir.'X S) j
— — ao>.au-t- — ; 9l-ttattH-{— 1 — -\.zdz:
c'est l'équation différentielle de la figure génératrice de J'anneau; mais nous avons supposé que cette figure est une ellipse dont l'équation est u"-4-X*z* = ft\ et dont l'équation difiFérentielle est, par conséquent, o = udu-+-'k^zdz: en comparant cette équation difiFérentielle à la précédente, on aura les deux suivantes,
kir
La première de ces équations détermine le mouvement de rotation de l'anneau : la seconde détermine l'ellipticité de sa figure
génératrice. Si Ton fait e= j -^, la seconde de ces équations
donne
e étant positif, on voit que X doit être plus grand que l'unité. L'axe de l'ellipse, dirigé vers Saturne, est égal à 2 fe, et il mesure la largeur de l'anneau : Taxe qui lui est perpendiculaire est égal
à —, et il mesure l'épaisseur de l'anneau; cette épaisseur est donc
moindre que la largeur.
On voit ensuite que e est nul lorsque X=i, et lorsque X=oo; d'où il suit qu'à une même valeur de e répondent deux valeurs difiTérentes de X; mais on peut choisir la plus grande, qui donne un
