PREMIERE PARTIE, LIVRE QUATRIEME

— . sin, X, t >fU^^^ dt . COS. X, t

— . COS. X, t 'fU^*^ dt . sin. X, t

Hllill. sin. X,<./f/«rff.cos.X.f

— Jjlî±il[ . COS. X, ( .fW^ dt. sin. X. t -+- etc.

On déterminera les fonctions N^'\ N^'\ N^*\ etc. au moyen de la figure initiale du fluide, et les fonctions M^'\ M^'\ M^*\ etc. au moyen de sa vitesse initiale; ainsi, Texpression précédente de y embrassant toutes les figures et toutes les vitesses dont le fluide est susceptible, elle a toute la généralité que Ion peut désirer.

Si la quantité M^'^ n'était pas constante, la valeur de j irait en croissant sans cesse, et l'équilibre ne serait pas ferme, quel que fût d'ailleurs le rapport de la densité du fluide à celle de la spbère qu'il recouvre. Mais il est facile de s'assurer que les quantités M^'^ et iV^'^ sont nulles, par cela seul que la masse fluide est constante. Cette condition donne yyc/(x.c/'cy=o, l'intégrale étant prise depuis (x= — 1 jusqu'à ft=i, et depuis ^=o jusqu'à ^=2 n ; or on a généralement, par le n° 12 du troisième livre,

fY^^Km\dfi.d^=^o, lorsque i et i sont des nombres différents; on aura donc

fydfi.d^=à 'TT . Y^^^= 4 'TT . i M^'K t^m\;

ainsi, en égalant cette quantité à zéro, on aura M^"^ = o et

Il suit de là que la stabilité de l'équilibre du fluide dépend du

signe des quantités \\ \\ etc. car si Tune de ces quantités, telle que X/S est négative, le sinus et le cosinus de l'angle X,f se changent en exponentielles, et ils se changent en arcs de cercle si 'ki^-zzio. Dans ces deux cas, la valeur dey cesse d'être périodique, condition nécessaire pour la stabilité de l'équilibre. X*, étant égal

à ' '; ^ --— ■ j(2 ï-i-i) .p — 3j, cette quantité ne peut être positive

que dans le cas où Ton a p > — : — , i étant un nombre entier

positif égal ou plus grand que l'unité; il faut donc, pour la stabilité de l'équilibre, que cette condition soit remplie pour toutes les valeurs de /, et cela ne peut avoir lieu qu'autant que l'on a p: 1, c'est-à-dire que la densité du noyau doit surpasser celle du fluide. Voilà donc la condition générale de la stabilité de l'équilibre, condition qui, si elle est remplie, rend l'équilibre ferme, quel que soit l'ébranlement primitif, mais qui, si elle ne Test pas, fait dépendre la stabilité de l'équilibre de la nature de cet ébranlement.

Si, par exemple, l'ébranlement primitif est tel que le centre de gravité du fluide coïncide avec celui du noyau qu'il recouvre, et n'ait aucun mouvement par rapport à lui dans le premier instant, alors 1 ' et (";7t— ) seront nuls au premier instant, puisque

cette coïncidence ne dépend que de la valeur de 1 's comme on Ta vu dans le n° 31 du troisième livre; cette valeur sera donc nulle à tous les instants, et, par conséquent, le centre de gravité du fluide coïncidera toujours avec celui du noyau. Dans ce cas, la stabilité de l'équilibre dépend du signe de X,% et pour que cette quantité soit positive, il suffit que l'on ait p>|-.

La valeur de y donne immédiatement celles de a et de v : en effet, l'équation