PREMIÈRE PARTIE, LIVRE QUATRIÈME

troisième espèce dépendent principalement de l'angle ^nt : elles sont d'environ un demi-jour. L'équation (4) du numéro précédent étant différentielle linéaire, il en résulte que ces trois espèces d^osciliations se mêlent sans se confondre; nous pouvons donc les considérer séparément.

Des oscillations de la première espèce.

5- Nous supposerons, dans ces recherches, que le sphéroïde recouvert par la mer est un ellipsoïde de révolution , ce qui est rhypothèse la plus naturelle et la plus simple que l'on puisse adopter. Dans ce cas, l'expression y de la profondeur de la mer est de la forme /,(i — ^(x*), et l'on a

Reprenons féquation (d) du n° 3. Les oscillations de la première espèce ne dépendant point de l'angle "&, on doit faire 5 = dans cette équation. Supposons que l'on ait

pw^ pw^ gtç^ étant des fonctions de |x*, qui satisfont, quel que soitf, à l'équation aux différences partielles,

La partie de a relative à y et à l'action de la couche aqueuse dont le rayon intérieur est l'unité, et dont le rayon extérieur est i-4-ay, sera, par ce qui précède ,

(-f)>-'-('-^)-^'"-(-~)-^'-' -('-(âtIi)^)-'^"-

La partie de a relative à l'action des astres ne produit que des

quantités de la forme P^*^; car la fonction n-3.cos.2Ô, qui la multiplie parle numéro précédent, est égale à 6.(|x' — y), et il est facile de voir que cette dernière fonction est de la forme P^*K Cela posé, si Ton substitue, au lieu de a et de à, leurs valeurs dans l'équation (4) du n° 3, et si Ton détermine les arbitraires

de P"', P'^'j etc. de manière que la fonction (j-)(i — f^f^) soit

divisible par i* — ^n*ii\ ce qui donne une équation de condition entre ces arbitraires; alors la puissance de |x% la plus élevée dans chaque membre de cette équation, sera |x*^, et, en comparant les coeflScients des diverses puissances de fi*, on aura^H-i équations de condition qui, réunies à la précédente, formeront/-!- 2 équations de condition. Mais les arbitraires de la fonction P^'^+P^*'+P^*'-h etc. sont au nombre /+i; en y joignant l'indéterminée q, on aura^+a indéterminées qui pourront satisfaire à ces équations de condition; on pourra donc ainsi satisfaire à l'équation (4), pour une loi déterminée de la profondeur de la mer. On aura cette loi, en observant que si l'on désigne par Q. fi'^ le terme de a, le plus élevé

en fjL, le coefficient de fi^^"^' dans la fonction — (t")!^ — M'f^)» divisée par /* — 4/i*|x*, sera

d où il suit que le coefficient de fi*A dans le second membre de l'équation (4) sera

En l'égalant au coefficient Q de fi*^ dans le premier membre, on aura