PREMIÈRE PARTIE, LIVRE QUATRIÈME

En supposant donc la profondeur de la mer égale à / moins le produit de /(x* par cette valeur de q, on aura, par l'analyse précédente, les oscillations de la première espèce.

— est le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à Té-

quateur, rapport égal à yfj. En prenant pour / un assez grand nombre, tel que douze ou quatorze , le coefficient de (x* sera assez petit pour pouvoir être négligé, et alors la profondeur de la mer sera à très-peu près constante; on aura donc ainsi, d'une manière fort approchée, les oscillations de la mer, dans le cas où sa profondeur est partout la même.

6. La valeur de c du n"" 3 est très-grande dans les oscillations de la première espèce, à cause du diviseur i, qui affecte plusieurs de ses termes. Si Ton développe la partie

y-^^. {sin\v — -j.cos^.v.^i-h^.cos.s^)

de l'action de la lune, qui produit les oscillations de la première espèce, en sinus et cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps; que l'on désigne par a/c.(i+3.cos.2 0).cos.(/f+/l) un terme quelconque de ce développement, k sera multiplié par la tangente de l'inclinaison de l'orbe lunaire à l'écliptique, dans le terme où it sera le moyen mouvement des nœuds de l'orbite lunaire; mais, à raison de la petitesse de i, ce terme sera trèsconsidérable, et le plus grand de tous ceux qui entrent dans l'expression de c.

Nous devons cependant faire ici une observation importante : les résistances que les eaux de la mer éprouvent doivent considérablement diminuer les oscillations de cette espèce et leur laisser très-peu d'étendue. Pour le faire voir, supposons la résistance proportionnelle à la vitesse, et nommons ê le coefficient de cette

résistance. Les deux équations dans lesquelles se partage l'équation (2) du n** 1 seront alors

(ddv\ '^^'^'Vdt) p (dv\ S'Vd^) (-5^)

car il est clair que la résistance doit ajouter aux deux premiers membres de ces équations les termes ^•(jr)^t^-(jr)' l'équation (1) du n"" 1 subsistera toujours.

Nous ne considérerons ici que les termes dépendants de Tangle ity dans lesquels le coefficient i est très-petit et beaucoup moindre

que ê. Dans ce cas, {-jfr] ^* (■^Tr) peuvent être négligés par

rapport à 6 . ( -7- J ^t ^ • ( jt ) » e* comme ces termes sont indépendants de l'angle tsy, la dernière des équations précédentes donnera

et Tavant-dernière deviendra

(du\ ^^\dt) ^ (dv\ y/ri^ \dt)

cette équation doit être combinée avec celle-ci,

Si l'on néglige les quantités de l'ordre i, l'équation (/) donne