L.\ sin*.v — Y • co^*- ^î • ( * +3- ^^s

Cette valeur est celle qui aurait Heu si v et 5 étaient rigoureusement constants , et si le fluide prenait à chaque instant la figure

qui convient à Tétat d'équilibre; car \jt) et (-7-) étant nuls

dans le cas de l'équilibre, les équations diflîérentielles en n et v se réduisent à celle-ci, o=^gy — V ; on peut donc, lorsque les variations de r et de v sont très-lentes, déterminer les oscillations de la première espèce, comme si le fluide se mettait à chaque instant en équilibre sous l'action de l'astre qui l'attire : Terreur est d'autant moindre, que l'astre se meut avec plus de lenteur; elle est par conséquent insensible pour le soleil. Elle peut être sensible pour la lune à cause de la rapidité de son mouvement dans son orbite; mais comme les oscillations de la première espèce sont très-petites par les observations, on pourra employer pour la lune elle-même la valeur précédente de ay.

Quoique nous soyons parvenu à ces résultats dans la supposition d'une résistance proportionnelle à la vitesse, il est clair qu'ils ont lieu quelle que soit la loi de la résistance. En général , on peut les adopter sans erreur sensible toutes le$ fois que le fluide, dérangé dans son état d'équilibre, reviendrait, en vertu de la résistance qu'il éprouve, à cet état, dans un temps moindre que celui d'une révolution de l'astre.

Des oscillations de la seconde espèce.

7. La partie de l'action de l'aslre L qui produit ces oscillations est, pur le n"* 4, égale à

-— f .sin.v.cos. V. sin.0. cos.ô.cos. (/i/-+-tar — \|/),

Le développement de cette louclion en sinus et cosinus d'anges propor tionnels au temps donne une suite de termes de la forme ak.(i.\/i — fjt*.cos. (eM-tsT — .1), i étant fort peu diflîérent de n,

demande qu'une seule équation de condition entre ces indéterminées ; alors le second membre de l'équation (4) n'aura plus de dénominateur; car, en ne considérant, dans ce second membre, que les termes qui ont yi— fx7 pour diviseur, et supposant d=F\L.\J\ — (x% Fêtant une fonction rationnelle et entière de jx*; les trois parties de ce second membre deviennent

in \ gz.fi^F an fin \ gz.i*^F [i^ -lin*fJL*).gz.(iF ^

OU gz.(i.F. \/i — jx'; d'où il suit que ce second membre n'a point \/i — (X* au dénominateur. En substituant donc, dans cette équation, pour a et a leurs valeurs, et en la divisant par (x.\/i — (x% la comparaison des puissances semblables de (x donnera ^ équations de condition qui, réunies à la précédente, formeronty-hi équations de condition à satisfaire; mais le nombre des indéterminées, en y comprenant (], estf-hi ; on aura donc autant d'indéterminées que d'équations.

Pour avoir la valeur de q, désignons par Q.fû^~\^i — (x* le terme de l'expression de a le plus élevé en (i; le terme semblable de l'expression de a sera

Q-(— (îT^tt)-''""'-^'-'''-

ce qui donne

-^•(^/•+/+7)-Q-(-SFÔ7)-c'^-V-c-.

pour le terme semblable du second membre de l'équation (4) : en l'égalant au terme correspondant de a, on aura