DU SECOND ORDRE

1. Nous allons d^abord déterminer Tattraction des corps d'une figure donnée. Nous avons déjà déterminé dans le second livre, n® 1 1 , cette attraction relativement à la sphère et à une couche sphérique : considérons maintenant l'attraction des sphéroïdes terminés par des surfaces du second ordre.

Soient a:, j, z, les trois coordonnées rectangles d'une molécule du sphéroïde; en désignant par dM cette molécule, et prenant pour unité la densité du sphéroïde que nous supposerons homogène, on aura

dM=dx .dy.dz.

Soient a, b, c, les coordonnées rectangles du point attiré par le sphéroïde, et désignons par A, B, C, les attractions du sphéroïde sur ce point, décomposées parallèlement aux axes des x, des j et des z, et dirigées vers lorigine des coordonnées. Il est aisé de voir, par le n® 11 du second livre , que l'on a

CCC {a—x).dx. dy.dz

£^ ÇÇ Ç [h^y\dx.dy.dz

'^*^*^ \{a—xy+{b~yy-h{c—zy\

toutes ces triples intégrales devant être étendues à la masse entière du sphéroïde. Les intégrations oiFrent, sous cette forme, de grandes difficultés, que Ton peut souvent aplanir en transformant d'une manière convenable les différentielles : voici le principe général de ces transformations.

Considérons la fonction différentielle P.dx.dy.dz,P étant une fonction quelconque de x, y, z. Nous pouvons supposer x fonction des variables y et z, et d'une nouvelle variable p : soit (p [y, 2, /)), cette fonction; dans ce cas, on aura, en regardant j et z comme constants, dx=&.dp, ê étant fonction de y, z et p. La différentielle précédente deviendra ainsi, è.P.dp.dy.dz; et pour l'intégrer, il faudra substituer dans P, au lieu de x, sa valeur 9(j, z, p).

Nous pouvons supposer pareillement, dans cette nouvelle différentielle, y=(p'[z, p, ^), cj étant une nouvelle variable, et (^'[z, p, Cj) étant une fonction quelconque des trois variables z, p et q. On aura, en regardant z et p comme constants, dy=è\d(i, ê' étant fonction de z, p, (j ; la différentielle précédente prendra ainsi cette nouvelle forme, &&\P.dp .dq .dz, et pour l'intégrer, il faudra substituer dans êP, au lieu àey, sa valeur (p'[z,p,q).

Enfin, on peut supposer z égal à <p\p, q, r)j r étant une nouvelle variable, et (p"{p, q^ ^) étant une fonction quelconque de p, q, r. On aura, en regardant/) et q comme constants, dz=ë\dr, ê' étant fonction de p, q, r; la différentielle précédente deviendra ainsi, &.&\&\P.dp.dq.dr, et pour l'intégrer, il faudra substituer dans ê. ê'. P, au lieu de z, sa valeur ^'(p, 7> 0- ^^ fonction différentielle proposée est par là transformée dans une autre relative à trois nouvelles variables p, q, r, qui sont liées aux précédentes par les équations

Il ne s'agit plus que de tirer de ces équations les valeurs de ê, ê', ê".

Pour cela nous observerons qu elles donnent x, y, z, en fonctions des variables p, cj et r; considérons donc les trois premières variables comme fonctions des trois dernières, ê" étant le coefficient de dr dans la dîfiFérentielle de z, prise en regardant p et cj comme constants, on a

ê' est le coefficient de dq, dans la différentielle de y, prise en regardant p et z comme constants ; on aura donc €', en différentiant j, dans la supposition de p constant, et en éliminant dr, au moyen de la différentielle de z, prise en supposant p constant, et égalée à zéro; on aura ainsi les deux équations

ce qui donne

^ ^dq l\dq)'\dr) \dr)-\d<})\ •^ ' (dz\

[Tr)

partant

, \dq)'\dr) [drJ'Uq)

Enfin, ê est le coefficient de dp, dans la différentielle de ùi, prise

en regardant j et z comme constants; ce qui donne les trois équations suivantes :

Si ion fait

[dp) • \d<i) ' \dr) [dp) ■ [dr) ' [d<,)

(dx\ (dy\ (dz\ (dx\ (dy\ (dz\

[dg) ' [dr) • [dp) [dq) ' [dp) ' [dr)

[dr)-[dp)[dc,) [dr)'[dq)-[dp)'^

on aura

ce qui donne

[dq) • [dr) [dr) ' [dq)

[dq) ■ [dr) [dr) " [dq)

partant, €.€'.€"=£, et la différentielle P.dx.dy.dz est transformée dans celle-ci, e.P.dp.dq.dr; P étant ici ce que devient P, lorsque Ton y substitue pour x, y, z, leurs valeurs en p, (j, r. Tout se réduit donc à choisir les variables p, cj, r, en sorte que les intégrations deviennent possibles.

Transformons les coordonnées x, y, z, dans le rayon mené du point attiré à la molécule , et dans les angles que ce rayon forme avec des droites ou avec des plans donnés. Soit r ce rayon, p