PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

l*angle qu'il forme avec une droite menée par le point attiré parallèlement à Taxe des x; soit (j l'angle que forme la projection de ce rayon sur le plan des j et de z, avec Taxe des j; on aura

x=a — r.cos.p, y=b — r.sin.p. cos. ^, z=c — r.sin.p. sin.^;

on trouvera, cela posé, e= — r\sin.p; la difiFérentielle dx.dy.dz sera ainsi transformée dans — r\ sm. p. dp. dq .dr: c'est l'expression de la molécule dM, et comme cette expression doit être positive, il faut, en considérant sin.p, dp, dq, dr, comme positifs, changer son signe, ce qui revient à changer celui de e, et à supposer e=r*.sin.jD. Les expressions de A, B, C deviendront ainsi

A z=fffdr. dp .dcj. sin. p. cos. p, B =zJJJdr. dp .d(j. sin*. p. cos. (j, C=fffdr. dp . d(f. sin*. p. sin. (j.

Il est facile de parvenir d'ailleurs à ces expressions , en observant que la molécule rfilf peut être supposée égale à un parallélipîpède rectangle dont les trois dimensions sont dr, rdp, et rdq. sin. p, et en observant ensuite que l'attraction de la molécule, parallèlement aux trois axes des x, des y et des z, est — p.cos.p;

dM . dM . . "^

— -.sin.p.cos.tf, et — p.sm.p.sm.^.

Les triples intégrales des expressions de il, B, C, doivent s'étendre à la masse entière du sphéroïde : les intégrations relatives à r sont faciles; mais elles sont difiFérentes, suivant que le point attiré est dans Tîntérieur ou au dehors du sphéroïde; dans le premier cas, la droite qui, passant par le point attiré, traverse le sphéroïde, est divisée en deux parties par ce point; et, si Ton nomme r et r ces parties , on aura

A=^ff[r-+-r) . dp. d(] .sin .p.cos.p, B =,Jf{r-^r) .dp.dt] . sin*. p . cos. q , C=ff{r-hr) .dp.dq . sin*. p . sin. q ,

les intégrales relatives kp et k q devant être prises depuis p et q égaux à zéro, jusqu'à p et (j égaux à deux angles droits.

Dans le second cas, si Ton nomme r le rayon à son entrée dans le sphéroïde, et r ce même rayon à sa sortie, on aura

A —-JJl^r — r) .dp .dc] .siu. p.cos.p , B =:iff{r — r) .dp .dcf . sin*. p . cos. ^ , C"^ff[r — r) .dp .dcf .sm\p . sin.^,

les limites des intégrales relatives k p elkc] devant être fixées aux points où l'on a r — r=o, c est-à-dire où le rayon r est tangent à la surface du sphéroïde.

2. Appliquons ces résultats aux sphéroïdes terminés par des surfaces du second ordre. L'équation générale de ces surfaces, rapportée à trois coordonnées orthogonales x, j, z, est

o=A+B.x+C.y+Ë.z+F.x*+H.xy+L.y'+M.xz+N.yz+0.z\

Le changement de l'origine des coordonnées introduit trois arbitraires, puisque la position de cette nouvelle origine par rapport à la première dépend de trois coordonnées arbitraires. Le changement de la position des coordonnées autour de leur origine introduit trois angles arbitraires; en faisant donc changer à la fois, dans l'équation précédente, les coordonnées d'origine et de position, on aura une nouvelle équation du second degré, dont les coefficients seront fonctions des précédents et de six arbitraires. Si l'on égale ensuite à zéro les premières puissances des coordonnées et de leurs produits deux à deux, on déterminera ces arbitraires , et l'équation générale des surfaces du second ordre prendra cette forme très-simple :

c'est sous cette forme que nous allons la considérer.

Nous n'aurons égard, dans ces recherches, qu'aux solides ter-