DE LA STABILITÉ DE L'EQUILIBRE DES MERS

13. Nous avons observé, dans le n"* 2, que si, la terre n'ayant point de mouvement de rotation, la profondeur de la mer est constante, l'équilibre est stable toutes les fois que la densité moyenne de la terre surpasse celle de la mer : nous allons généraliser ce théorème, et faire voir qu'il a lieu quels que soient la loi de profondeur de la mer, et le mouvement de rotation de la terre.

Reprenons les équations générales du mouvement de la mer, données dans le n"* 36 du premier livre.

(^)-,„,VT=iI^(^)=j.(^^).V/Iiqi^, (6)

ces équations étant relatives à une molécule quelconque de l'intérieur ou de la surface de la mer, déterminée par les coordonnées d-hau, "cs-h-av et r-h-as; r-j-as étant lé rayon mené du centre de gravité de la terre, à la molécule, et g y étant égal à g y — V. Si l'on intègre l'équation (5) depuis la surface du sphéroïde recouvert par la mer, jusqu'à celle de la mer, on aura

r et s étant relatifs à la surface de la mer, et r et 5^ se rapportant à la surface du sphéroïde. En représentant par y la profondeur très-petite de la mer, on aura r =r-hy; ce qui donne

et par conséquent, le rayon moyen de la terre étant pris pour unité, on aura, à très-peu près.

or on a

u et V étant relatifs à la surface de la mer; on a pareillement u et V étant relatifs à la surface du sphéroïde; on a donc partant, on aura, à très-peu près.

Cette équation n'est pas restreinte, comme l'équation (1) du n° 1, à la condition que h et r soient les mêmes pour toutes les molécules situées sur le même rayon : il est facile de voir qu'en remplissant cette condition ces deux équations coïncident.

Maintenant si l'on ajoute l'équation (6) multipliée par

dr.dii.d'U^.{^y à l'équation {7) multipliée par rfr. d^. eit,^. ( J) ,

on aura, en l'intégrant,

=f//ar. i,. i.\s. (I) . (^) . VA=?- j. (^) . (^) j. (9)

Pour étendre les intégrales à la masse entière du fluide, il faut les prendre depuis r=r^ jusqu'à r=r, depuis (x= — i jusqu'à jx=i , et depuis t«y=o jusqu'à t«y=2 ir. En intégrant par rapport à (jt, et en observant que y est indépendant de r, on aura

//*-'''*-(ï)-(|)Vï=^

.djx+const.

Aux deux extrémités de l'intégrale, où (i= — i et (x=:i, on a

/• (^) • V/i— f** = o ; donc

o = /y. i'iTj-dr. y/i — (X* H- constante ;

et par conséquent.

• dft;

or on a

d'f{^ydr.\/i—ii^ /<'.j(^)Vi— f**

fifft