PREMIÈRE PARTIE, LIVRE QUATRIÈME

lorsque i et i' sont des nombres différents ; on a donc

Par le n° 2, on a 1 *°=o; l'équation (lo) devient donc, en l'intégrant par rapport au temps t,

M étant une constante arbitraire. Il est facile de voir que le premier membre de cette équation exprime, à très-peu près, la force vive de la masse fluide, en ne considérant que la vitesse relative de ses molécules sur le sphéroïde terrestre.

M est une constante indépendante du temps t, et qui dépend de Tétat initial du mouvement de la mer : elle est très-petite lorsque Ton suppose l'ébranlement primitif peu considérable.

Si p est plus grand que l'unité, la fonction

-g.ffd^.d^!^[x- i). 1 ■^-i-(i- ^).y«'-.-etc.

sera constamment négative; elle sera moindre que Af, puisque le premier membre de l'équation précédente est nécessairement positif; 7'*^ T^'-, etc. ne doivent donc point contenir d'exponentielles croissantes, ni d'arcs de cercle; d'où il suit que l'^^iiilihre de la mer est stable, si sa densité est moindre que la densité moyenne de la terre.

1 4. Si la densité de la mer surpasse la moyenne densité de la terre, sa figure cesse d'être stable dans un grand nombre de cas.

On a vu, dans le n"" 2, que la terre n'ayant point de mouvement de rotation, et la profondeur de la mer étant constante, on peut, si p est moindre que Tunîté, ébranler ce fluide de manière que l'équation de sa surface renferme le temps sous la forme d'exponentielles croissantes; ce qui est contraire à la stabilité de l'équilibre : la même chose a généralement lieu dans le cas où la terre ayant un mouvement de rotation, le sphéroïde que recouvre la mer est un solide de révolution , quelle que soit d'ailleurs la loi de la profondeur de la mer.

Reprenons l'équation (i i) dans laquelle nous supposerons que les valeurs de u et de î; sont à très-peu près les mêmes pour toutes les molécules situées sur le même rayon. Supposons qu'à l'origine

du mouvement on ait eu y=h^, |^J = o, (^J = o, (-7-j=o.

Le fluide, abandonné ensuite à sa pesanteur et à l'attraction de ses molécules, a dû prendre un mouvement composé d'une infinité d'oscillations simples telles, que l'on a, par leur réunion,

y=a. cos* ( /f H-s) H- a,, cos. {i\t-\- e») -f- a,, cos. [Ij-^ e.) H- etc.

a, a^, a,, etc. étant des fonctions de (x. Les constantes i, r,, /,, etc. e, e,, e,, etc. doivent être telles qu'à l'origine du mouvement où f=o, on ait eu,

a. COS. e-f-a,. cos. e,~+-a,.cos. e,-+- etc. = A(jt, ai.sin. e-Ka,!, .sin.e,-i-a,i,. sin. e»H-etc. = o.

Les valeurs correspondantes de i -r-J et de (^| sont, par le n** 3, de la forme

— 16. sin. (û-f s) — /i6, .sin. [ij-he,) — etc. ic. COS. (« f-t- e) -t- i,c, . COS. (/, f H- e,) -f- etc.

et elles doivent se réduire à rjéro lorsque (= o. Cela posé, si l'cm

on a donc, en rassemblant toutes les équations semblables à cette dernière équation ,

^^^^2.,•^ic^(.-^«)-6«|=.-<yJ/^.2.j(I-i).P(0'+(,A).^

Si Ton retranche cette équation de l'équation (i3), on aura

ffy.dii.d^.ll.i'b'=M.

A l'origine du mouvement, on a, parla supposition, j= y '^= A|x; -i-j =o, (-TT-j =o; Téquation (i i) donne ainsi

partant,

ffy. dyL. (hs.\i' 6' -t- C 6,' -+- etc. j = \% g. ( i— -|. h'.

Si p est moindre que l'unité, ou, ce qui revient au même, si la densité de la mer surpasse la moyenne densité de la terre, le second membre de cette équation est négatif; le premier membre est donc pareillement négatif, ce qui est impossible, tant que 'S h\ it\ etc. sont positifs : ainsi, dans ce cas, quelqu'une de ces quantités est négative, et par conséquent l'expression de j renferme des exponentielles, et l'équilibre n'est point stable.