CHAPITRE III

DE LA MANIÈRE D'AVOIR ÉGARD, DANS LA THEORIE DU FLUX ET DU REFLUX DE LA MER, AUX DIVERSES CIRCONSTANCES QUI, DANS CHAQUE PORT, INFLUENT SUR LES MARÉES.

15. Nous avons supposé, dans le premier chapitre, que la terre est un solide de révolution, et nous avons déterminé, dans cette hypothèse, les oscillations de la mer : rapprochons-nous de la nature en donnant à la terre une figure quelconque. Dans ce cas, les inégalités de la première espèce seront, en vertu des résistances que la mer éprouve, les mêmes que nous avons déterminées dans le n** 7. Relativement aux inégalités de la seconde et de la troisième espèce, la valeur de j sera formée d'une suite de sinus et de cosinus d'angles proportionnels au temps t, et, en nommant it un de ces angles, on aura

y= F. COS. i f H- G . sin. it,

gy — V'=. F'. COS. i M- G', sin. it,

u=^H. COS. it-^K. sin.it,

v=:P. COS. it ^- Q . sin. i t.

Ces valeurs substituées dans les équations [A) et [B] du n** 3 donneront les six équations suivantes, en comparant les coefiicients des sinus et des cosinus de it,

i\ H -h 2 ni. (X. \/i — ^. Q= — l-j — J.y^i — (x-,

( 1 — ft') . i\ P— 2 n i. (i. v/i— fJt*. K= (■^^\ ,

(df"\ 1 )'

-\ dy. } \df, y

{ d.yK.yfr^^ \ / d.rQ \

-\ dti ) \d^ y

11 est facile d'en conclure,

an (dG'\ (dF'\ I i '^'\d^ )

an /dF'\ (dG'\ I -. I '^'\drB }

I'— 4nV (dF'\ an , ,. (dG'\

{i-|u«).(i'-iinV) '

(dG'\ 211 f ,. fdF'\

^~ (i-f*').(i'-4nV)

ce qui donne

, .> fddF'\ (ddF'\

i* — ^n*fi* (i— |!«').(i'— 4nV)

'\i*-hn*(^'l ] (dF'\ \dm)'\dm J

dt. )'W) (i-|^')-(''-AnV')

i '^'\dmj (dG'\ an f •l.i'-AnV'j ) (dG' \ i^-kn^Vi* '[dii )~' l'i dii y\d«)'

En changeant, dans cette équation, F en G, F' en G' et récipro-

quemefît, et en changeant le signe des termes multipliés par ~t-,

on aura une nouvelle équation entre G, G\ F', qui, combinée avec celle-ci, déterminera F et G.

On peut, au moyen de ces équations, déterminer généralement la loi de la profondeur de la mer, qui rend les oscillations de la seconde espèce nulles pour tons les lieux de îa terre. En effet, relativement à ces oscillations, i étant très-peu différent de /i, on peut supposer i=:n dans les équations précédentes. De plus, F et G étant nuls par la supposition , les valeurs de F' et de G'

sont, par le n** 7, M. (x. \/i — (x*. cos. ^, et — M. f*. \/i — (x'. sin. ttî, M étant une fonction de t indépendante de (x et de tar. En substituant ces valeurs dans Téquation précédente entre F, F' et G, on trouvera

COS. tar. I -~- ) . y 1 — (x* -h

Téquation entre G, G' et F' donnera

sin

d'où l'on tire |^j=i:o, (^j = o, et par conséquent y égal à

une constante. Les oscillations de la seconde espèce ne peuvent donc disparaître pour toute la terre que dans le seul cas où la profondeur de la mer est constante.

Si les oscillations de la troisième espèce sont nulles pour toute la terre, F et G sont nuls relativement à ces oscillations, et l'on a, par le n* 9,

F==.?V. (i — fA*).cos.:i«, G'=: — N.(i — fA").sin. 2«;

N étant une fonction de t indépendante de (x et de «. On peut de plus supposer, à très-peu près, {=2n; cela posé^ Téquation entre F, F' et G donnera

2 y. COS. 2'or

/dy\ (^+^(ïE)-^i°;^

.^^j.cos.Q^^ rfr^ï '

l'équation entre G, G' et F' donnera

3 y. sin. 2 «r

1—fl'

(dy\ . {^ + f*')-(èV^«^

d'où Ton lire |-pj=:o, et

(]etle dernière équation donne, en l'intégrant,

.4 étant une constante arbitraire. Suivant cette valeur de y, la profondeur de la mer serait infinie lorsque (x = o, ou à Téquateur, ce qui ne peut pas être admis; il n'y a donc aucune loi admissible de profondeur de la mer qui puisse rendre nulles, pour toute la terre, les oscillations de la troisième espèce.

La rapidité du mouvement angulaire de rotation de la terre, relativement au mouvement angulaire du soleil et de la lune, permettant de supposer i=n dans les oscillations de la seconde espèce, et i=^in dans les oscillations de la troisième espèce, il est facile de conclure de l'analyse précédente et des n*" 6, 8 et 9, que si l'on marque d'un trait, pour la lune, les quantités L, v, \|/ et r, que nous supposerons se rapporter au soleil, l'élévation aj, d'une molécule de la surface de la mer au-dessus de la surface

d'équilibre qui aurait lieu sans Vaction de ces deux astres, est à fort peu près de la forme

(1+3.COS. afl) (L , o • , \ ^' / Q • , '\)

. — -(i — S.sin*. v) H — 77. (1 — 3.sin*. v')

+ B.j— .cos\ V. COS. 2 (nf+tar— \|/ — X)+ -77.COS'. v'. cos. 2 (nf+tar— >//— X)L

A, B, ê et X étant des fonctions de |x et de tar dépendantes de la loi de la profondeur de la mer. La généralité de cette forme embrasse un grand nombre de variétés des phénomènes des marées , qui peuvent avoir lieu dans les différents ports. Lorsque la terre est un solide de révolution, il résulte des n**' 7 et 9 que l'instant du maximum ou du minimum des oscillations de la seconde et de la troisième espèce est le même que celui du passage de fastre qui les produit au méridien; mais on voit, par la formule précédente, que dans le cas général d'une profondeur quelconque, ces instants peuvent être fort différents, et les heures des marées peuvent être très-variables d'un port à l'autre, conformément à ce que Ton observe.

Dans plusieurs ports, les oscillations de la seconde espèce peuvent être insensibles, tandis que dans d'autres ports on ne remarquera point les oscillations de la troisième espèce. Mais suivant la formule précédente, les maxima ou minima de ces oscillations suivraient d'un même intervalle les passages de leurs astres respectifs au méridien, puisque les quantités ê et X sont les mêmes relativement à chacun des deux astres; or nous verrons, dans la suite, que ce résultat est contraire aux observations; ainsi, quelque étendue que soit la formule précédente, elle ne satisfait pas encore à tous les phénomènes observés. L'irrégularité

de la profondeur de l'Océan , la manière dont il est répandu sur la terre, la position et la pente des rivages, leurs rapports avec les côtes qui les avoisinent, les courants, les résistances que les eaux éprouvent, toutes ces causes qu'il est impossible de soumettre au calcul , modifient les oscillations de cette grande masse fluide. Nous ne pouvons donc qu'analyser les phénomènes généraux qui doivent résulter des attractions du soleil et de la lune, et tirer des observations les données dont la connaissance est indispensable pour compléter, dans chaque port, la théorie du flux et du reflux de la mer, et qui sont autant d'arbitraires dépendantes de l'étendue de la mer, de sa profondeur, et des circonstances locales du port.

16. Envisageons sous ce point de vue général la théorie des oscillations de l'Océan, et sa correspondance avec les observations. On peut considérer la mer comme un système d'une infinité de molécules qui réagissent les unes sur les autres, soit par leur pression, soit par leur attraction mutuelle, et qui de plus sont animées par la pesanteur et par les forces attractives du soleil et de la lune. Sans l'action de ces deux dernières forces, la mer serait depuis longtemps en équilibre: la loi de ces forces doit donc en régler les mouvements.

Pour avoir les forces attractives du soleil et de la lune sur une molécule de la surface de la mer, déterminée par les coordonnées R, ^ et d, R étant le rayon mené du centre de la terre à la molécule; nommons a F la fonction

— ^. t[sin.v. cos.0-f-cos.v. sin.Ô. COS. [nt-i-'Uf — "vf/)]* — y| ^. j[sin.v'.cos.ô-hcos.v'.sin.ô.cos. [nt-h'cs — \f/')]* — y};

la somme des forces lunaire et solaire, décomposées suivant le rayon terrestre» sera a. {-yifjy ou 2 a. F', en faisant R=i après

la difTéFentiation. La somme de ces forces décomposées perpendiculairement au rayon terrestre et dans le plan du méridien de la

molécule sera a. [-t^]; enfin la somme des mêmes forces décom-

posées perpendiculairement au plan de ce méridien sera — ; ^ ^ .

Ces expressions sont très-approchées pour le soleil , à cause de sa grande distance à la terre, qui rend insensibles les termes multipliés par — . Elles sont moins exactes pour la lune; mais les phénomènes des marées ne m'ont rien fait apercevoir qui puisse dépendre des forces de Tordre -77 : peut-être des observations plus

exactes et plus nombreuses que celles qui ont été faites rendront sensibles les effets de ces forces.

Ne considérons d'abord que l'action du soleil, et supposons qu'il se meuve, dans le plan de l'équateur, uniformément et toujours à la même distance du centre de la terre : les trois forces précédentes deviennent

— r.jsin'.ô — -f-H-sin*.ô. cos. {^nt-^^fs — 2^)t»

.sin.ô. sin.(2 7if-4-2tar — 2>(/).

3L En vertu des seules forces constantes , - — - . ] sin*. 6 — -f- j et

— j.sin.Ô. cos.ô, la mer finirait par être en équilibre; ces forces

ne font donc qu'altérer un peu la figure permanente qu'elle prend en vertu du mouvement de rotation. Mais les trois parties variables des forces précédentes doivent exciter dans l'Océan des oscillations dont nous allons déterminer la nature.

Ces forces redeviennent les mêmes à chaque intervalle d'un demi-jour; or on peut établir comme un principe général de dynamique, que l'état d'un système de corps dans lequel les conditions primitives du mouvement ont disparu par les résistances qu'il éprouve, est périodique comme les forces qui l'animent : l'état de l'Océan doit donc redevenir le même à chaque intervalle d'un demi-jour, en sorte qu'il doit y avoir un flux et un reflux dans cet intervalle.

Pour le faire voir par un raisonnement qui peut s'appliquer à tous les cas semblables, supposons qu'à un instant quelconque a, la hauteur de la mer dans un port ait été h, et qu'elle soit redevenue la même après les intervalles /^'^J'^'^/^^ f^'\ etc. comptés de l'instant a; a-i-f'^ est l'instant où la hauteur de la mer était h, après le nombre i de ces intervalles; si l'on suppose i trèsgrand, cet instant ne dépendra point des conditions de mouvement qui ont eu lieu à l'instant a que nous prendrons pour celui de Torigine du mouvement; car toutes ces conditions ont dû bientôt disparaître par les frottements et les résistances de tout genre que la mer éprouve dans ses oscillations ; en sorte que le mouvement de la mer finissant par n'en plus dépendre et par se rapporter uniquement aux forces qui la sollicitent, il est impossible de connaître l'état primitif de la mer par son état présent.

Imaginons maintenant qu'à l'instant a, plus un demi-jour, toutes les conditions du mouvement de la mer aient été les mêmes qu'elles étaient dans le premier cas à l'instant a. Puisque les forces solaires sont les mêmes et varient de la même manière dans les deux cas, il est clair que, dans le second cas, les intervalles successifs après lesquels la hauteur de la mer sera h, en partant de l'instant a plus un demi-jour, seront, comme dans le premier cas, f^'\f^'Kf^'\ etc. en sorte qu'à l'instant a -i-/^'^ -h un demi-jour, la hauteur de la mer sera h ; mais puisque i étant fort grand , l'état actuel de la mer est indépendant de tout ce qui a rapport à l'origine du mouvement, il est visible que l'instant a+y^'^-f- un demi-