PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

clair que Ton a généralement JPrfp.cos.p=o, P étant une fonction rationnelle de sin.p et de cos\p, parce que la valeur de p étant prise à égale distance au dessus et au dessous de l'angle droit, les valeurs correspondantes de P.cos.p sont égales et de signe contraire; on aura ainsi

^jJcos\

dp.dq ,s\n.p,cos*,p

p + m, sm*. p . CCS*. q + n, sm*. p. sin*. q

Si Ton intègre par rapport à q, depuis ^=o, jusqu'à q égal à deux angles droits, on trouvera

2an r dp. sin.p, cas*, p

\/mn J

l'intégrale devant être prise depuis cos.p=i , jusqu'à cos.p= — i . Soit cos.p=x, et nommons M la masse entière du sphéroïde; on

aura , par le n"" i , M= , et par conséquent -— = = -17 ;

i.^mn \Tnn

on aura donc

oM r

x^.dx

l'intégrale étant prise depuis a; = o jusqu'à x=i.

En intégrant de la même manière les expressions de B et de C, on les réduirait à de simples intégrales; mais il est plus facile de tirer ces intégrales de l'expression précédente de A. Pour cela, on observera que cette expression peut être considérée comme

une fonction de a et des carrés fc*, — , et — des demi-axes du

sphéroïde, parallèles aux coordonnées a, i, c du point attiré; en nommant donc &'• le carré du demi-axe parallèle à 6, et, par con-

séquent, k'\m, et — ■ — , les carrés des deux autres demi-axes; B

sera pareille fonction de b, k'\ k'\m et k'\ — ; il faut ainsi, pour

avoir B, changer, dans Texpressîon de il, a en 6, A en k\ ou — zz;

m dans — , et n dans — ; ce qui donne

36M r m*,x*dx

Soit

on aura

361/ /* t'dt

^)-"rh(^)-'i

l'intégrale relative à t devant être prise, comme l'intégrale relative à X, depuis t=^o jusqu'à f=i , parce que x = o donne t=o et x=i donne t=i.

Il suit de là que si Ton suppose

on aura

Si l'on change dans cette expression 6 en c, X en X' et réciproquement, on aura la valeur de c. Les attractions il, JB, C du sphéroïde, parallèlement à ses trois axes, sont ainsi données par les formules suivantes,

. 3aM „ o UM /d.\F\ ^ 3cA/ /d.\'F\