PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

On peut observer que ces expressions ayant lieu pour tous les points intérieurs, et, par conséquent, pour les points infiniment voisins de la surface , elles ont lieu pour les points mêmes de la surface.

La détermination des attractions du sphéroïde ne dépend ainsi que de la valeur de F; mais, quoique cette valeur ne soit qu une intégrale définie, elle a cependant toute la difiîculté des intégrales indéfinies, lorsque X et X' sont indéterminées; car, si Ton représente cette intégrale définie, prise depuis x=o jusqu'à x=i, par <p{y<\ X'*), il est aisé de voir que l'intégrale indéfinie sera x\ (p (X*a:% y!*af) ; en sorte que la première étant donnée, la seconde Test pareillement. L'intégrale indéfinie n'est possible en elle-même que lorsque l'une des quantités X et X' est nulle, ou lorsqu'elles sont égales : dans ces deux cas, le sphéroïde est un ellipsoïde de révolution, et k sera son demi-axe de révolution, si X et X' sont égaux. On a, dans ce dernier cas.

Pour en conclure les difiFérences partielles f ' ■ \ et f ' , J, qui entrent dans les expressions de B et de C, on observera que

^^=H-^y^{^ïP)-^-

or on a, lorsque X est égal à X',

{d.-xF \ ( d.\'F \ \ d-k ) — \ d-k' )'

dx dW

partant

d'k=^X.dF-hF.d'k=-^.d.'k'F.

En substituant, au lieu de F sa valeur, on aura

(d.-kF\ 1 ( . .

on aura donc relativement aux ellipsoïdes de révolution, dont h est le demi-axe de révolution,

4. Considérons présentement l'attraction des sphéroïdes sur un point extérieur. Cette recherche présente de plus grandes difficultés que la précédente, à cause du radical \/ft qui entre dans les expressions différentielles, et qui rend, sous cette forme, les intégrations impossibles. On peut les rendre possibles, par une transformation convenable des variables dont elles sont fonctions; mais, au lieu de ce moyen, j'ai fait usage de la méthode suivante, uniquement fondée sur la différentiation des fonctions.

Si Ton désigne par V la somme de toutes les molécules du sphéroïde, divisées par leurs distances respectives au point attiré, et que l'on nomme x, j, z, les coordonnées de la molécule dM du sphéroïde, et a, b, c, celles du point attiré, on aura

J \/ {a—xy+{b—yy+{c~z)'

En désignant ensuite, comme précédemment, par A, B, C, les attractions du sphéroïde parallèlement aux axes des x, des y et des z, et dirigées vers leur origine, on aura

^ r {a-x).dM (dV^