PREMIERE PARTIE, LIVRE QUATRIEME

0^67924, donnée par l'ensemble des équinoxes et des solstices, est dans les limites des erreurs des observations.

Il résulte des expressions précédentes que les coefficients de f', ou, ce qui revient au même, les retards de la marée d'un jour à l'autre vers les quadratures, sont plus grands dans les équinoxes que dans les solstices. Ce résultat des observations est conforme, à la théorie qui nous a donné 0^,06426 et oJ, 04628, qui difiFèrent peu des coefficients 0^067493 et oJ,o46643, déterminés par les observations. La différence serait plus petite encore si Ton avait égard aux troisièmes puissances de \|/' — >|/, que nous avons négligées, et qui deviennent sensibles, surtout vers les quadratures des équinoxes.

40. Le retard des marées d'un jour à l'autre, vers les quadratures, augmente dans les marées périgées et diminue dans les marées apogées; mais ce phénomène, dû à la variation de la distance lunaire, est moindre dans les marées quadratures que dans les marées syzygies. Pour comparer, sur ce point, la théorie aux observations, j'ai ajouté dans onze quadratures, dans lesquelles le demi-diamètre de la lune était au-dessous de vingt-huit minutes, les retards des marées, tant du matin que du soir, du jour même de la quadrature, jusqu'aux troisièmes marées correspondantes qui les suivent, et j'ai trouvé 3^,26667 pour la somme de ces retards. J'ai ajouté pareillement, dans les onze quadratures correspondantes dans lesquelles le demi-diamètre de la lune surpassait vingt-neuf minutes et demie, les retards des marées tant du matin que du soir, depuis le jour même de la quadrature, jusqu'aux troisièmes marées correspondantes qui les suivent, et j'ai trouvé 3^39306 pour la somme de ces retards. La somme des demidiamètres lunaires était de 30222" dans les onze premières quadratures, et de 32728' dans les onze dernières; ainsi 2606" d'accroissement dans la somme de ces demi-diamètres ont produit 0^,12639 d'accroissement dans la somme de ces retards; d'où il

résuite qu une minute d'accroissement dans ie demi^iamètre de la lune produit 84' d'accroissement dans ie retard des marées d'un jour à l'autre vers les quadratures^ accroissement qui est à très-peu près le tiers de celui qui correspond à la même variation du demi-diamètre lunaire dans les syzygies, et qui, par le n** 37, est de 2 58".

Par le numéro cité, le retard des marées d'un jour à l'autre vers les syzygies est

l' /rV L'

en supposant r'=r' — Sr, raccroîssement du retard des marées, correspondant à la diminution — 5 r, sera

R étant le retard moyen des marées d'un jour à l'autre, vers les syzygies. On trouvera de la même manière, par le n*" 37,

Sr r r ' r*

r; • il. il '

pour l'accroîssement du retard des marées correspondant à — 3r, dans les quadratures, R étant alors le retard moyen des marées d'un jour à l'autre. Maintenant on peut supposer, sans erreur sensible,— r, = —7, dans ces expressions, ce qui les réduit à — j — .— r

et—. — 7; mais on a, par ce qui précède, R=2'job\ R'=520'j'''i

ainsi le premier retard étant supposé de 2bS\ le second sera de 90* : les observations donnent SA''; la théorie sur ce point est donc d'accord avec elles.

4L Nous pouvons maintenant réduire en nombres l'expression de la hauteur ay de la mer, à un instant quelconque , au-dessus de sa surface d'équilibre , expression que nous avons donnée dans le n*" 20. On a vu précédemment que les termes de cette expression, multipliés par B et par Q, sont insensibles à Brest. On peut d'ailleurs, vu la petitesse de A, supposer sans erreur sensible, dans les termes qu'il multiplie, y=\. La constante X est l'intervalle dont la marée solaire suit à Brest le passage du soleil au méridien, cet intervalle étant réduit en degrés à raison de 400*" pour un jour; or l'ensemble des observations des marées syzygies nous a donné, pour cet intei^valle, 0^,18793, et l'ensemble des observations des marées quadratures donne, pour le même intervalle, 0^,17924.' le milîeu entre ces deux résultats est oJ,i8358; en le réduisant en degrés, on aura 7 3*", 43 2 : c'est la valeur que nous assignerons à X. Cela posé, l'expression de aj sera, pour Brest,

OLy= — o"%02 745.ji*. (1 — 3.sin'.v)-+-3«\{i — 3.sin\v')j

( i*. sin.v. cos.v.cos. (v— 73%432)

(+ 3i\ sin. v'. COS. v'. cos. (v+\|/— >|/'— 73^432)

o»- 78112 i '''•cos\v.cos.2(v-73%432) j,

'^ ■(+3i\cos'.v.cos. 2(v+^|/~•^'-73^432))

dans cette formule, i*" v est l'angle horaire du soleil, c'est-àdire l'ange qu'il a décrit par son mouvement diurne, depuis son passage au méridien de Brest jusqu'à l'instant pour lequel on calcule; 2° v et v' sont les déclinaisons du soleil et de la lune, les déclinaisons boréales étant supposées positives, et les déclinaisons australes négatives; 3*" >p et >|/' sont les ascensions droites du soleil et de la lune; 4*" i est le rapport de la moyenne distance du

soleil à sa distance actuelle, et i est la parallaxe actuelle de la lune, divisée par la constante de cette parallaxe; 5"* enfin les quantités v, v', >|/, >|/', i et i se rapportent à un instant qui précède de 1^,50724 celui que Ton considère.

Les différentes causes qui modifient les oscillations de la mer sur nos côtes, et probablement aussi Terreur de l'hypothèse des oscillations infiniment petites, dont nous avons fait usage, écartent un peu la formule précédente des observations; ainsi Tinstant de la basse mer déterminé par cette formule diffère de quelques minutes de l'instant observé, parce que la mer, à Brest, emploie un peu moins de temps à monter qu'à descendre. On a vu encore que, par les mêmes causes, le niveau de la mer est un peu plus élevé dans les syzygies que dans les quadratures; elles paraissent encore retarder les marées à raison de leur grandeur : malgré ces légers écarts, on pourra employer la formule précédente dans le calcul des marées que les vents peuvent altérer d'une quantité beaucoup plus sensible.

Cette formule offre un moyen simple de déterminer les plus grandes marées qui doivent suivre chaque syzygie. La connaissance de ces phénomènes intéresse les travaux et les mouvements des ports; elle est encore utile pour prévenir les accidents qui peuvent résulter des inondations produites par les grandes marées; il importe donc qu'ils soient déterminés d'avance : on y parviendra de cette manière. La plus grande marée suit, comme on l'a vu, d'environ un jour et demi l'instant de la pleine ou de la nouvelle lune; et lorsqu'elle a lieu, les angles v— 73%432, et v+>|/— ^1^'— 73^432 sont nuls ou égaux à deux angles droits; on a donc alors

(ty= — o°'%o2745.|i\(i — 3.sin*. v)-h3r\(i — 3.sin*.v')l o°*%07i79.j± i\ sin. v. cos.v db 3i\ sin.v'. cos.v'j o°*%78i i2.ji\cos*.v-t-3i'\cos*. v'|.

On peut, dans cette expression , négliger les deux premiers termes,

qui sont très-petits par rapport au dernier, et qui d'ailleurs n*ont d'influence sensible que vers les solstices où les marées sont déjà sensiblement affaiblies par les déclinaisons des astres. Alors on a

aj=o™%78 1 1 2. ji'. cos*. V -+- 3i\ cos'. v'j.

Dans les syzygies des équinoxes, i=i à fort peu près; v et v' sont nuls, et la valeur moyenne de i est j^; en prenant donc pour unité la valeur moyenne de ay vers les syzygies des équinoxes, sa valeur, pour une syzygie quelconque, sera

aj = rrr- i ''• ^^^*- v H- 3 1\ cos*. v'| .

Ainsi Ton aura, par cette formule très-simple, la hauteur de la plus grande marée qui suit d'un jour ou deux, chaque nouvelle ou pleine lune, les quantités i, i, v et v' se rapportant au moment de la syzygie. Cette formule déterminera encore le plus grand abaissement de la marée au-dessous de la surface d'équilibre; car il résulte de l'expression générale de aj, que la mer s'abaisse à peu près autant au-dessous de cette surface , dans la basse mer, qu'elle s'élève au-dessus, dans la haute mer qui lui correspond. Quant à la marée prise pour unité, on la déterminera par un grand nombre de différences de la haute à la basse mer, observées un jour ou deux après les syzygies voisines de l'équinoxe; la moitié delà valeur moyenne de ces différences sera, à très-peu près, la marée prise pour unité.

42. Il nous reste, pour compléter cette théorie, à déterminer, par une formule simple et facile à réduire en table, l'heure de la pleine mer. Reprenons l'équation du n° 2 1 ,

— . cos*. V. sin. 2 (>[/ — >|/') tang-2 (nf-f-'cr — >|/' — X)= -p ~ 7 •

-7,.C0S*.v'H ;.COS*.V. COS. 2 {'^ — '^')

Cette équation renferme les sept variables r, r\ v, v', nf, \|/ et >|/';

ainsi, sous cette forme, il serait difficile de la réduire en table. Mais on peut la simplifier par la considération du peu de différence qui existe entre les diamètres apparents du soleil et de la lune. Soient H et 7/' les demi-diamètres apparents de ces astres dans leurs moyennes distances à la terre, où nous avons établi

-77 = — -; soient h et h! leurs demi-diamètres actuels : on aura, en observant que, dans la formule précédente, -77 doit être diminué d'environ un trentième, ou plus exactement, dans le rapport de 2.89841 à 3,

ijjj .cos*. V. sin. 2 {'^ — '^') tang. 2 (nf+'or— >|/'-X)= ^ ^

, 89841. (tT)) •COS\v'+(;tt) .COS'.V.COS. 2 (>|^-f)

Pour faire usage de cette équation, on formera d'abord une table des valeurs de la fonction

— - — ^ ! — \ Il V/ros* v>

3,89841 n v^^os.vj,

correspondantes à tous les degrés, depuis v=o jusqu'à v = 32^ On corrigera les demi-diamètres h et h' du soleil et de la lune, donnés parles éphémérides, en en retranchant les quantités qui, dans cette table, répondent aux déclinaisons de ces astres. On aura ainsi, à fort peu près,

(■^).sin.2.(>|/->|/')

;if+^^'X=|ang.tang.; ;/.. .^., /^

i,8984i.(-^j+(-^j .cos.2(\|/~\|/')|

h et A' étant ici les demi-diamètres du soleil et de la lune, corrigés par ce qui précède. Par ce moyen les déclinaisons du soleil et de la lune disparaissent de l'expression de nf-4-'iar — \|/'— >.