PREMIÈRE PARTIE. LIVRE CINQUIÈME

Si Ton observe ensuite que l'on a

on aura

Les coordonnées x, y, z, étant supposées très-petites relativement à la distance r de l'astre L, au centre de gravité de la terre, on peut développer V dans une suite fort convergente par rapport aux puissances réciproques de r; on aura ainsi, à fort peu près,

-j- = — . 5. dm. {xx'--hyy'-^zz).{yx'—ûcy) , --7T- = — -. 5. rfm. [oox' -hyy' -h zz). [zx — xz) , -^ = — . 5. àm. [xx -^-yy -^zz). [zy—yz).

On a vu, dans le n'' 28 du premier livre, que les valeurs àep, q, r, sont indépendantes de la position du plan des x et des y; or, si nous prenons pour ce plan l'équateur même de la terre, on aura = o , et si nous prenons pour l'axe des x le premier axe principal, nous aurons ^=o; nous aurons, de plus, par le n*^ 26 du premier livre ,

S.dm.{y'-+-z') = A, S.dm.{x'-hz')=B, S. dm. {x' -^y*) = C , S. xy . (/m = o , 5. xz. rfm = o , 5. jV. rfm = o ;

partant,

dN 31 /D ..

les équations (D') du n*" 1 deviendront ainsi

, [B-A) , iL.dt [B-A) dp-h ^ Q \ qr.dt= — — . ^ ^ \ a^,

A "r— r; ' A tfrH -g—.pq.at — -71— £

m OOà/»

Ces équations supposent que r est fort grand par rapport au rayon du sphéroïde terrestre , ce qui est vrai relativement au soleil et à la lune ; mais il est remarquable qu elles seraient encore très-approchées dans le cas où l'astre attirant étant fort près de la terre ^ la figure de cette planète serait elliptique. Pour le faire voir, nous observerons que Ton a, par le n*" 2^

x= R. \/i — jx*. COS. tsr , y=R. \/i — jx*. sin. *&, z= R. (i :

si Ton nomme r et X ce que deviennent, par rapport à TastreL, les quantités fx. et ^, relatives à la molécule dm du sphéroïde terrestre, on aura

r . \i—v\ COS. X, y =r . \/i — r* . sin, X, z=zrv:

si Ton substitue ces valeurs dans la fonction V, et qu ensuite on la développe par rapport aux puissances de —, on aura une série de cette forme,

- -f- ^. m^ -h ^W^^ ^-etc.