PREMIÈRE PARTIE, LIVRE CINQUIÈME

Les équations diflFérentielles [F) du numéro précédent deviendront ainsi ^

i—A) , SL.dt{B-A) {\Y*.cos\d+Z\sin\d—X'—2 yZ.sin.ô.cos.ôj.sin.2 (p -^-.qr.dl^ 2^.C -j +\2XY.cos.e^2XZ.sm.6\.cos.2<py

:-B) I SL.dt{C-B) ({(P-Z*).sin.0.cos.ô+yZ.(cos\0-sin\0)|.cos.(pj -^.rp.di^ 7JÂ •( -^\XY.sïn.d+XZ.cos.d\.sm.(py ^^'

l-C) I SL.dt.{A-C) ( i (P-Z').sin- ô.cos. d+YZ. (cos*. dsm\ d)\.sm.(p) -j^.pq.dt^ TvB i +jXr,sin.0+AZ.cos.0î.cos.(p(*

Intégrons présentement ces équations. Si les deux moments d'inertie >1 et jB étaient égaux, ce qui aurait lieu dans le cas où la terre serait un sphéroïde de révolution, la première de ces équations donnerait (Zp = o, et, par conséquent, jd constant; lorsqu'il y a une petite difiFérence entre ces deux moments d'inertie, la valeur de p renferme des inégalités périodiques, mais elles sont insensibles. En effet, l'axe instantané de rotation s'éloignant toujours très-peu du premier axe principal, ^ et r sont de très-petites quantités, et l'on peut, sans erreur sensible, négliger le terme

^ ^, ' .rq.dt de la première des équations (G). Le second membre

de la même équation se développe en sinus et cosinus d'angles croissants avec rapidité, puisque ses termes sont multipliés par le sinus ou le cosinus de 2 ^; ces termes doivent donc être encore insensibles après les intégrations : on peut ainsi supposer, dans les deux dernières des équations (G), p = n,n étant la vitesse moyenne angulaire de rotation de la terre autour de son troisième axe principal. Mais comme la discussion sur la valeur de p est très-importante, à cause de son influence sur la durée du jour, nous reviendrons sur cet objet, après avoir déterminé les valeurs

de q et de r.

Faisons, pour abréger,

^.\{Y'—Z').sin.e.cos.e-hYZ.{cos\d—sin\d)\=P.

^ . { Xr. sin. -hXZ. COS. 1 =F; les deux dernières équations (G) deviendront

dq-{- ' ~ ' .rp.dt= ^ ~ ' .dt.\P.cos.<p — P'.sin. ^ (,

P etP" peuvent être développés en sinus et cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps. Soit fc.cos. (l'f-i-e), un terme quelconque de P, et k'.sin.[it-{-e) , le terme correspondant de P; on aura, en n'ayant égard qu'à ces termes,

d(i+ i^) . rp. dt= î^ Jt. \ {k+k') .COS. [(p+it+e)+{k-k') .cos. ( (p-ù-e) |, dr+''^^.pqJtJ-^^M.\{k+k).sm.{(p+it+e)^k-k).sm.{(^^^^

Si l'on suppose, dans ces équations,

9=Af . sin. ((p-hif-l-e)-f-iV.sin.(<p — it — e), r=M'. COS. ( (p-\-it-he)-\-N'. cos. ( (p — it — e ) ;

on aura, en observant que d<p est à très-peu près égal k ndt,

^~ {n+iy.AB-n\{A-C).{B-C) '

^^\(^C-A).\n.{A+B-C) + iA\

{n+iy.AB-n\{A-C).{B-C)