PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

On aura pareillement

Cela posé, si, dans l'équation (i), on substitue, au lieu de F et de F, et de leurs dififérences partielles, leurs valeurs précédentes; si de

plus on y substitue . ^ , au lieu de m, et -p — au lieu de n,

on aura

<'=('''-'"-^-)-hi'3-ih(§)-'-(§)--(§)!] -"'•(^)+-(f)-T"'(S)-T--(S)-

6. Concevons la fonction v réduite dans une série ascendante par rapport aux dimensions k, sJQ et y£ du sphéroïde, et par cons)iquent descendante relativement aux quantités a, 6, c : cette suite sera de la forme suivante :

V = U'^'^ -+- f/<')-+- f/(*^ -4- U^'^ -4- etc.

U^'\ U^^\ U^*\ etc. étant les fonctions homogènes de a, b, c, A, y5 et y&, et séparément homogènes relativement aux trois premières et aux trois dernières de ces six quantités; les dimensions relatives aux trois premières, allant toujours en diminuant, et les dimensions relatives aux trois dernières, croissant sans cesse: ces fonctions étant de la même dimension que v, elles sont toutes de la dimension — i.

Si Ton substitue dans Téquation (2), au lieu de v, sa valeui* précédente en série; si Ton nomme s la dimension de U^"^ en k, yjB et sfâ, et par conséquent — s — 1 Sa dimension en a, J, c; si l'on nomme parefflement s la dimension de IP'^'^ en k, \/0^et sj^.

et par conséquent — s' — i sa dimension en a, h,c; si l'on considère ensuite que, par la nature des fonctions homogènes, on a

on aura, en rejetant les termes d'une dimension supérieure en k, \Jd et \f&, à celle des termes que Ton conserve,

Cette équation donne la valeur de f/^*"*"'^ au moyen de U^'^ et de ses diflférences partielles; or on a

puisqu en n'ayant égard qu'au premier terme de la série , nous avons trouvé, dans le n° 4,

en substituant donc cette valeur de i/^"- dans la formule précédente, on aura celle de U^'^\ au moyen de celle de U^'\ on aura celle de U^^\ et ainsi de suite. Mais il est remarquable qu'aucune de ces quantités ne renferme k; car il est clair, par la formule (3), que £/^"^ ne renfermant point /î, f/^'^ ne le renfermera pas; que

U^'^ ne le renfermant point, f/^*^ ne le renfermera pas, et ainsi du reste; en sorte que la série entière f/^"^-hf/^"^-+-£/^*^-h etc. est

indépendante de k, ou, ce qui revient au même, (-jr) = o. Les valeurs de v, — {^)» — (ttâ)» — (-7-) sont donc les mêmes pour tous les sphéroïdes elliptiques semblablement situés, et qui oijt les mêmes excentricités \/0 et yQ; or — M.l-j-)^ — ^'\7h)' — ilf . (-i-| expriment, par le n° 4, les attractions du sphéroïde

parallèlement à ses trois axes ; donc les attractions de difiFérents sphéroïdes elliptiques qui ont le même centre, la même position des axes, et les mêmes excentricités sur un point extérieur, sont entre elles comme leurs masses.

Il est aisé de voir, par la formule (3) , que les dimensions de U^'\ U^'\ U^*\ etc. en y^ et y^ croissent de deux en deux unités, en sorte que 5 = 2 i, 5'= 2 i -h 2 ; on a, d'ailleurs, par la nature des fonctions homogènes ,