PREMIÈRE PARTIE, LIVRE CINQUIÈME

axes principaux, et r sa distance à ce point, on aura par le n"* 3, en rapportant les valeurs de diV, dlS' et dN" aux mêmes coordonnées ,

^ = ^.(C-B).rz'.

Nous pouvons supposer sans erreur sensible, dans ces expressions, que Torigine des coordonnées X\ Y" y Z\ est au centre même de Saturne, ainsi que l'origine de r. Nommons X\ T', Z', les coordonnées de l'astre jL, rapportées au plan de l'équateur de Saturne, l'axe des X étant la ligne d'intersection du plan de l'équateur, et de celui de l'anneau ; on aura entre A', Y\ Z\ X\ Y\ Z", les mêmes relations que les précédentes entre Xy y y z, a;'',y', z", d'où l'on tire

X'=X. COS. (p-f- r.sin. (p — eZ'.sin. (p,

r= r. COS. (p— r. sin. c^—ez'. cos. 9, z"=z'^er;

et par conséquent ,

XT= ^^^'"^^^') .sin.2 9+rr.cQs.2 9 — 0Z'.{r.sin.29+X.cos.29},

rz'=z'r.sin.9+z'r.cos.9+0.|(r*-z'»).sin.9+rr.cos.9i,

rZ' = Z'r.cos.9--Z'X.sin.9+0.i(r*-Z'«).cos.9-A'r.sin.9|.

Nommons v l'angle que le rayon r forme avec la ligne d'intersection de l'orbite de L, et de l'équateur de Saturne; soit ^ l'angle que l'intersection du plan de l'anneau et de Téquateur forme avec

cette intersection, et 0' Tinclinaison de Torbite de L, sur le plan de Téquateur de Saturne; on aura

X'= r. COS. V. COS. -^ — /. sin. v. cos. ô'. sin. \f/, r'= /. COS. V. sin. y^/ -f- r. sin. v. cos. 9\ cos. \f/, = r.sin. V. sm.O ;

ce qui donne en négligeant les termes dépendants des sinus et cosinus de Tangle v et de ses multiples, et ceux qui dépendent de l'angle i(p, tous ces termes restant insensibles par les intégrations ,

XZ'= ^.sin.0'.cos.0'.sin.((p-x|/)+ ^.{cos\0-|.sin\0'j.sin.(p

7". ô. sin*. &. sin. (^ — 2 >//) ,

YZ'= — .sin.0'.cos.ô'.cos.((p-\|/)+ — .jcos\e'— i-.sin\ô'j.cos.(p

^. ô. sin*. 0'. COS. (^ — 2 \|/ ) .

On aura donc par l'action de l'astre L, dN' 3L

l (Q j^\ (sin.0'.cos.0'.sin. ((p — >//)-4-|cos\ô' — ^sin*.ô'}.ô.sin.^)

dl 2r^'^ ^(— |0.sin\0'.sin.(^— 2x|/) ('

dis' SL .^g. (sin.0\cos.ô'.cos.((p— \|/)-|-|cos*.0'— |.sin*.0'{.0.cos.(pj

rff ar

|0.sin\0'.cos.((p — 2\|/)

On doit observer ici que ces valeurs de —r- et --j— se rapportent

au plan même de l'anneau et à ses axes principaux, au lieu que les valeurs précédentes, relatives à l'action de Saturne, se