PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

cela, soit r la distance du point attiré, à l'origine des coordonnées; l'angle que le rayon r fait avec l'axe des a; ^ l'angle que le plan formé par le rayon et par cet axe fait avec le plan des axes des a et des b ; on aura

a = r. cos.d, fc=r. sin.0. cos.'CT, c=:r. sin.ô.sin.'CT.

Si l'on nomme pareillement R, & et W ce que deviennent r, et'cr relativement à la molécule dM àa sphéroïde, on aura

= R • COS.0', y=zR. sin.0'. cos. 'cr', z=R. sin.0'. sîn. ^ts' .

D'ailleurs, la molécule dM du sphéroïde est égale à un parallélipipède rectangle dont les dimensions soîit dRy RdB\ RdTs'.ûn. B\ et par conséquent elle est égale à p.R\dR.dd\ d^ui . sin.0', p étant sa densité ; on aura ainsi

y rrr p.R\dR.de\d^\sin.6'

J J J v/ r* — o r R A rns. G rns. fl'-Usin ^ sin G' f

\/r*— 2ryi.jcos.9.cos.9'+sin.6.sin.9'.cos.(«r'— -Br)j+iï=

l'intégrale relative à R devant être prise depuis /î = o jusqu'à la valeur de R, à la surface du sphéroïde ; l'intégrale relative à 'cr' devant être prise depuis 'Ct'=o jusqu'à 'cr' égal à la circonférence; et l'intégrale relative à 0' devant être prise depuis = o jusqu'à 6' égal à la demi-circonférence. En différentiant cette expression de V, on trouvera

( ddV \

^ — \d6^ )^ sin.e'\de )^ sin^ô ^"^'Vrfr» j' ^^1

équation qui n'est que l'équation (i) transformée.

Si l'on fait cos.0=jx, on peut lui donner cette forme.

{ dd.rV \ • [ dr' )

Nous sommes déjà parvenus à ces diverses équations dans le se^ cond livre, n*" 11.

9. Supposons d'abord le point attiré extérieur au sphéroïde- Si Ton réduit V en série, elle doit être, dans ce cas, descendante par rapport aux puissances de r, et par conséquent de cette forme,

ï;(o) f/(o f/w ui^)

etc.

En substituant cette valeur de V dans l'équation (3) du numéro précédent , la comparaison des mêmes puissances de r donnera , quel que soit i,

\ /Jf/«\1 (ddV

( d[i ) 1 — iiii ^ '

11 est clair, par la seule expression intégrale de F, que f/^*^ est une fonction rationnelle et entière de fjt, \J i — |x*.sin.'CT, et V^i — (X*. cos.'CT, dépendante de la nature du sphéroïde. Lorsque /=:o, cette fonction se réduit à une constante; et, dans le cas de /= 1, elle est de la forme

H . fjt-f- H\ y 1- — jx\ sin. 'cr -f- H". \J \ — (x*. cos. ^;

H, ir, H" étant des constantes.

Pour déterminer généralement U^'\ nommons T le radical

y/r'— aiir.jcos.Ô.cos.ô'+sin.Ô.sin.Ô'. COS. (tsr'-— Br)j+/{' '

nous aurons

dr\] /ddr

dA{i — fAf*). (■

d(i \\ \ rftsrW fdd.rT

d(i ) 1 — (X(JL ' \ di