PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

Cette équation subsisterait encore en y changeant 6 en d\ ^ en 'cr', et réciproquement, parce que Test une pareille fonction de 0' et de 'Ct', que de 6 et de 'cr.

Si Ton réduit T dans une suite descendante relativement à r, on aura

T= ^ -^Q^'K -^ ^Q^'K -^ -hQ^'K -, -4- etc.

Q'*' étant, quel que soit i, assujetti à cette équation,

et, de plus, il est visible que Q^'^ est une fonction rationnelle et entière de jx, et \/i — jx*.cos. ('cr' — 'cr) : Q^'^ étant connu, on aura U^"^ au moyen de l'équation

Supposons maintenant le point attiré dans l'intérieur du sphéroïde; il faut alors développer l'expression intégrale de V dans une suite ascendante par rapport à r, ce qui donne pour V une série de cette forme,

V r= î;(») -+- r. v^'^ -^r\ v^'^ -f- r\ v^'^ -h etc.

v^^ étant une fonction rationnelle et entière de fjt, \J i — |x*. sin.^cr, et \J \ — (X*. cos.'CT, qui satisfait à la môme équation aux différences partielles que U^^j en sorte que l'on a

0= 5 \JlAi |-V L a,,(,|,\ i,W

Pour déterminer i»-'\ on réduira le radical T dans une suite ascendante par rapport à r, et Ton aura

les quantités Q^'\ Q'\, Q*\ etc. étant les mêmes que ci-dessus; on aura donc

dR.disf'.de'.s\n.e'.Q^''

Mais, comme l'expression précédente de T n'est convergente qu'autant que R est égal ou plus grand que r, la valeur précédente de V n'est relative qu'aux couches du sphéroïde qui enveloppent le point attiré. Ce point étant extérieur par rapport aux autres couches, on déterminera la partie de V qui leur est relative, par la première expression de V en série.

10. Considérons d'abord les sphéroïdes très-peu différents de la sphère, et déterminons les fonctions U''\ U^'\ U'^\ etc. v^'\ v^'\ v^*\ etc. relatives à ces sphéroïdes. Il existe une équation différentielle en V qui a lieu à leur surface, et qui est remarquable en ce qu'elle donne le moyen de déterminer ces fonctions sans aucune intégration.

Supposons généralement la pesanteur proportionnelle à une puissance n de la distance ; soit dM une molécule du sphéroïde , et/ sa distance au point attiré; nommons /^ l'intégrale yy*""^'. (/M, cette intégrale s'étendant à la masse entière du sphéroïde. Dans

le cas de la nature où n = — 2 , elle devient | —f-^ et nous l'avons

pareillement exprimée par V dans les numéros précédents. La fonction V a l'avantage de donner, par sa différcntiation , l'attraction du sphéroïde, parallèlement à une droite quelconque ; car, en considérant/ comme une fonction de trois coordonnées du point attiré, perpendiculaires entre elles, et dont l'une soit parallèle

à cette droite, si Ton Domnie r cette coordonnée, Taltraction du sphéroïde suivant r, et dirigée vers son origine, sersiff'.l--j^).dM; elle sera par conséquent égale à . iT" )» ^^ ^^^' ^^^^ ^^ ^^^

de la nature, se réduit à — (t~ ) » conformément à ce que nous

avons trouvé précédemment.

Supposons maintenant que le sphéroïde difiFère très-peu d'une sphère du rayon a, dont le centre soit sur le rayon r perpendiculaire à la surface du sphéroïde, l'origine de ce rayon étant supposée arbitraire, mais très-près du centre de gravité du sphéroïde; supposons de plus que la sphère touche le sphéroïde, et que le point attiré soit au point de contact des deux surfaces. Le sphéroïde est égal à la sphère, plus à l'excès du sphéroïde sur la sphère ; or on peut concevoir cet excès comme étant formé d'un nombre infini de molécules répandues sur la surface de la sphère, ces molécules devant être supposées négatives partout où la sphère excède le sphéroïde; on aura donc la valeur de F en déterminant cette valeur, i** relativement à la sphère, a*" relativement à ces diverses molécules.

Par rapport à la sphère, V est une fonction de a, que nous désignerons par A: si l'on nomme ensuite dm une des molécules de l'excès du sphéroïde sur la sphère, et y sa distance au point attiré, la valeur de V relative à cet excès sera fj^'^'.dm; on aura donc pour la valeur entière de V, relative au sphéroïde,

V=A-+^ff^\d

Concevons que le point attiré s'élève de la quantité infiniment petite dr au-dessus de la surface du sphéroïde et de la sphère, sur le prolongement de r ou de a; la valeur de V relative à cette

nouvelle position du point attiré deviendra V-h ( j- ) . dr; A

augmentera d'une quantité proportionnelle à dr, et que nous re-

présenterons par A .dr. De plus, si l'on nomme y l'angle formé par les deux rayons menés du centre de la sphère au point attiré et à la molécule dm, la dislance y de cette molécule au point attiré sera, dans la première position de ce point, égale à y/îa*. (i — cos.y) ; dans la seconde position , elle sera

\j[a-\-dry — ia.[a-^dr) . cos.y-ha*, on f. 1 1 H j ; l'intégrale fp'^'- dm deviendra ainsi

on aura donc

en substituant, au lieu de ff'^'^'.dmy sa valeur K — ^4, on aura

(^\ = A'(î±!).A-Hfchl-'.V. (,)

\dr ) ia ia ^ '

Dans le cas de la nature, l'équation (i) devient

La valeur de V relative à la sphère du rayon a est, par le n° 6,

égale a -5 — , ce qui donne A = — « — ; A = 5—; on aura

donc

On doit observer ici que cette équation a lieu, quelle que soit la position de la droite r, et dans le cas même où elle ne serait pas perpendiculaire à la surface du sphéroïde , pourvu qu'elle passe