PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

fort près de son centre de gravité ; car il est facile de voir que Fattraction du sphéroïde, décomposée suivant ces droites, et qui,

comme on l'a vu, est égale à — (7" ) > ^st, quelle que soit leur

position, toujours la même, aux quantités près de l'ordre du carré de l'excentricité du sphéroïde.

11. Reprenons maintenant l'expression générale de Y du n*" 9, relative à un point attiré extérieur au sphéroïde ,

F= 1 — H r- -+- etc.

la fonction f/^'^ étant, quel que soit t, assujettie à l'équation aux différences partielles.

On aura, en différentiant la valeur de 7 par rapport à r,

Représentons par a. (i-haj) le rayon mené de l'origine de r à la surface du sphéroïde, a étant un très-petit coefficient constant dont nous négligerons le carré et les puissances supérieures, et j étant une fonction de |x et de 'cr^ dépendante de la nature du

sphéroïde. On aura, aux quantités près de Tordre a, V= ' ; d'où il suit que, dans l'expression précédente de F, i"* la quantité W'^ est égale à ^'^ , plus à une très-petite quantité de l'ordre a, et que nous désignerons par f/'^*^; 2® les quantités U^'\ U^^\ etc. sont très-petites de l'ordre a. En substituant a.(i-haj),

au lieu de r, dans les expressions précédentes de F et de — ( -r— J

et en négligeant les quantités de Tordre a% on aura , relativement à un point attiré placé à la surface ,

|F=|7r.a'. 1 — ayj-t \ -H -H etc.

{dV\ 4 . / X f/'^*^ a.f/^') 3.1/w

— û» j— )=t''^-^ (i — 2ay)H 1 —H —H- etc.

\ar y » \ J' a a* a'

Si Ion substitue ces valeurs, dans Téquation (q) du numéro précédent, on aura

, , £/» 3.£y(0 5.fyw 7.f/w

aa7r.a\y= 1 1 h ^—^ h etc.

Il suit de là que la fonction y est de cette forme ,

j= y^») -+- 7(0 -h Y'^^ -+- y^-^' -h etc.

les quantités Y^'\ Y^'\ Y^''\ etc. étant, ainsi que f/^'^ l]^'\ U^'\ etc. assujetties à cette équation aux difiFérences partielles,

d(A \ 1 — (A fA

cette expression de j nest donc point arbitraire, mais elle dérive du développement en série des attractions des sphéroïdes : on verra,. dans le numéro suivant, que j ne peut se développer ainsi que d'une seule manière. On aura donc généralement , en comparant les fonctions semblables,

d'où Ton tire, quel que soit r,

y^^ W: ^ Wa: j J.,, ^ f . y ")4- -^ . r<'M- -^ . r <') + etc.!. (3)

3r ^ { 3r or* yr* )

Il ne s'agit donc plus , pour avoir V, que de réduire y sous la