PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

forme que nous venons de lui supposer; nous donnerons dans la suite une méthode fort simple pour cet objet.

Si l'on avait j= Y^\ la partie de K relative à l'excès du sphéroïde sur la sphère dont le rayon est a, ou, ce qui revient au même, relative à une couche sphérique dont le rayon est a, et

1 épaisseur a a j, serait y-: — r — j:^ ; cette valeur serait , par conséquent, proportionnelle à j; et il est visible que ce n'est que dans ce cas que cette proportionnalité peut avoir lieu.

12. On peut simplifier l'expression 7^*^-4-7^*^-1-7^*^-+- etc. de j, et en faire disparaître les deux premiers termes, en prenant pour a le rayon d'une sphère égale en solidité au sphéroïde, et en fixant Forigine arbitraire de r au centre de gravité du sphéroïde. Pour le faire voir, nous observerons que la masse M du sphéroïde supposé homogène, et d'une densité représentée par l'unité, est par le n° 8, égale à fR\ dR.d(i.d^, ou à \fK\ dfi.d^, R étant le rayon R prolongé jusqu'à la surface du sphéroïde. En substituant pour/î' sa valeur a. (i-f-aj), on aura

M= ^'^ -hcta'.fydfi.d^.

ï\ ne s'agit donc que de substituer pour j sa valeur 7<*)-f-y(»)^ etc^ et d'effectuer ensuite les intégrations. Voici, pour cet objet, un théorème général et fort utile dans cette analyse.

« Si Y^^ et Z^*'^ sont des fonctions rationnelles et entières de (x, «\/i — (x^.sin.tîT, et y/i — -"(I*.cos. tîT, qui satisfont aux équations « suivantes ,

'\dy.

dft

(dZ^'

<< o= — ' j — ^ ^|-+~ -^ ^ -hi.(i-f-i)

/ddY^\

d(A I 1 — (IfJL

/ddZ^\

— ir^ —\-+- ^ -hi.(i-f-i)

« on a généralement

« lorsque i et ï sont des nombres entiers positifs différents entre «eux; les intégrales étant prises depuis jx= — i jusqu'à (x=i, « et depuis tzr=o jusqu'à tzr=2 7r, 2 7r étant la circonférence dont « le rayon est l'unité. »

Pour démontrer ce théorème , nous observerons qu'en vertu de

la première des deux équations précédentes aux différences par-

tielles, on a

d\L . (/tsy.

or on a, en intégrant par parties relativement à (x,

,Jr,o.j4zîjjr)lp,,

et il est clair que si l'on prend l'intégrale depuis (x= — i jusqu'à (x=i, le second membre de cette équation se réduit à son dernier terme. On a pareillement en intégrant par parties, relativement à tîT,

/^' • [-d^y rft.= const.+Z^o.^__j -Pl(^ +/P).^__j. d^.