PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

et ce second membre se réduit encore à son dernier terme lorsque l'intégrale est prise depuis tzr=o jusqu'à tzr=2 7r, parce que les

valeurs de r^'\ l-n — )» Z^''^ et (-^ — ) sont les mêmes à ces deux limites; on aura donc ainsi

d'où l'on tire, en vertu de la seconde des deux équations précédentes aux diflFérences partielles ,

on a donc

o=/7«.Z('\cZ(i.rf«,

lorsque i est différent de x.

De là il est aisé de conclure que y ne peut se développer que d'une seule manière, dans une série de la forme y<<»)+y(>)4-y^*) + etc. car on a généralement

fy.Z^\d^.d^=fY^KZ^Kd^.d^.

Si Ton pouvait développer y dans une autre série, y <*)-+- 7^»^ 4r/"^-f- etc. de la même forme, on aurait

fy.Z^Kd(i.d^=fYfKZ^^d(i.d^; partant

fY^'^.Z^^dfi.d^^/Y^lZ^Kdii.d^;

or il est facile de voir que , si l'on prend pour Z^^ la fonction la plus générale de son espèce, l'équation précédente ne peut subsister que dans le cas où Yf^=Y^^ : la fonction j ne peut donc se développer ainsi que d'une seule manière.

Si, dans ïïniégràle f y dfi.d^, on substitue pour y sa valeur yo)|.y(o^y(«)^etc. on aura généralement o=/r«.i/(x, dur, / étant égal ou plus grand que l'unité; car l'unité qui multiplie dfi.d^ est comprise dans la forme Z^'\ qui convient à toute quantité constante, ou indépendante de pt et de ter. Vïniégrale fy.dfi.d^ se réduit donc à fY^'^^dfi.d^, et par conséquent à 4 tt . Y^'^; on a donc

Ainsi, en prenant pour a le rayon de la sphère égale en solidité au sphéroïde, on aura F''^=zo, et le terme Y^'^ disparaîtra de l'expression dej.

La distance de la molécule dM, ou R\dR.d(i.d^,au plan du méridien d'où Von compte l'angle tîT, est égale à R . y i — (x*. sin. tss; la distance du centre de gravité du sphéroïde à ce plan sera donc fR\ dR.dfi . d'us. \J\ — jx*. sin. tîT, parce que la masse M est prise pour unité; et, en intégrant par rapport à R, elle sera \ . fK\ d (i . d'us .\J \ — jx\ sin. ^m , K étant le rayon R prolongé jusqu'à la surface du sphéroïde. Pareillement, la distance de la molécule c/M au plan du méridien perpendiculaire au précédent étant R.\J\ — jx*. cos. tîT, la distance du centre de gravité du sphéroïde à ce plan sera \ . fR\ d^.d^m .\J\ — jx*. cos. 'cr. Enfin, là distance de la molécule c/ M au plan de l'équateur étant R[l, la distance du centre de gravité du sphéroïde à ce plan sera ^./R'^li.dfi.d'Uf. Les fonctions jx, y/i— jx'.sin.'cr, et \/i— jx*.cos.tzr, sont de la forme Z^'\ Z^'^ étant assujetti à l'équation aux différences partielles.

dz^'A 1 (ddz^^y

o=|j ,d^ /) [^WgLx^,z('^.

Si l'on conçoit R' développé dans la suite iV^'^-f-A'^*^-+-iV^* -+-etc. N^^ étant une fonction rationnelle et entière de (x, \/i — ^\ sin. «r.