PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

\/i — (x*. cos.tar, assujettie à l'équation aux différences partielles,

les distances du centre de gravité du sphéroïde aux trois plans précédents seront, en vertu du théorème général que nous venons de démontrer,

\ . fN^'\ dfi . rf'BT . \/i — (i\ sin. 'CT,

Y . fN^'K d(l . rf'BT . \/l — jX*. COS. 'CT,

N^''^ est, par le n** 9, de la forme A.(i-hB,^i — jx^-sin-tîT -h C . \/i — (i\ cos.isar. A, B, C étant des constantes; les distances

précédentes deviendront ainsi, ^.B, ^.C, ir.A. La position du

centre de gravité du sphéroïde ne dépend ainsi que de la fonction N^'\ ce qui donne un moyen très-simple pour la déterminer. Si l'origine du rayon R est à ce centre, cette origine étant sur les trois plans précédents, les distances du centre de gravité à ces plans seront nulles, ce qui donne A = o, J5=o, C=o, partant N^'^=o.

Ces résultats ont lieu quel que soit le sphéroïde : lorsqu'il est très-peu différent d'une sphère, on a /{'=:a. (iH-ay), et /{'*=a\(i-f-4aj); ainsi, y étant égal à Y^'^-+-Y^'^-hY^'^-+-etc. on a N^'^=^aa^.Y^'^; la fonction Y^'^ disparaît donc de l'expression de j, lorsque Ton fixe l'origine de R au centre de gravité du sphéroïde.

13. Concevons maintenant le point attiré dans l'intérieur du sphéroïde : nous aurons, par le n"* 9,

V = v^'^H- r. v^'^-h r\ v^'^ -f- r\ t;^*)-+- etc.

Supposons que cette valeur de V soit relative à une couche dont la surface intérieure soit spliérique et du rayon a, et dont le rayon de la surface extérieure soit a . ( i -h ay) ; l'épaisseur de cette couche sera a ay. Si Ton désigne par y ce que devient y lorsque Ton y change 9 et 'cr dans 9' et ter', on pourra, en né^igeant les quantités de Tordre a% changer r en a, et (//{ en aaj, dans l'expression intégrale de v^'^\ on aura ainsi

t;^'^=: -^, .//. à^.àB\ sin. 0'. Q^K

Relativement à un point placé à l'extérieur du sphéroïde, on a,

par le n** 9 ,

K = 1 -H --f- etc.

W^)=fW--\ dR.d^'.d d'. sin. d'. Q^«^ ;

si Ton suppose cette valeur de V relative à une couche dont le rayon intérieur est a, et dont le rayon extérieur est a. (n-aj), on aura

U^^=a. a'^\jy. d^\d&. sin. &. Q^^ ; partant

on a , par le n° 1 1 ,

donc

(2i+i).a'-> ' ce qui donne

r=z4 aTT .tf.ir^^^-t- ^. 7^^^-+- ^. r^^'-hetc.!. Il faut ajouter à cette valeur de V celle qui est relative à la couche