PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

sphérique de Tépaisseur a — r, qui enveloppe le point attiré , plus celle qui est relative à la sphère du rayon r et qui est au-dessous du même point. Si Ton fait cos. 0'=(i, on aura, par rapport à la première de ces deux parties de V,

l'intégrale relative à jx' devant être prise depuis jx= — i jusqu a ft'=i. En intégrant, par rapport à R, depuis iî=r jusqu à R=a, onaura

or on a généralement, par le théorème du numéro précédent fdt3\d\L. Qt'^i=o, lorsque i est égal ou plus grand que Tunité: lorsque i=o, on a, par le n*" 9, Q^'^=:i; de plus, Fintégration relative à ^' doit être prise depuis tzr'=o jusqu'à tzr'=a tt; on aura donc

Cette valeur de t;^'^ est la partie de V relative à la couche sphérique de Tépaisseur a — r.

La partie de V relative à la sphère dont le rayon est r est égale à la masse de cette sphère , divisée par la distance du point attiré

à son centre; elle est, par conséquent, égale à — ^. En réunissant ces diverses parties de V, on aura, pour sa valeur entière,

F=a TT .a«-|7r.r'+4a7r.a\îr*^ ^- r^J+ A. F'^H- -^. r'^etcJ. (4)

Supposons le point attiré placé au dedans d'une couche à trèspeu près sphérique, dont le rayon intérieur est

a -t- a a . { F ^'^-h 7 ^^^-f- F'^-f- etc. j ,

et dont le rayon extérieur est

a-f-aa.t 7>^-+-r^^J-f-r (*'-+- etc. j.

On peut comprendre les quantités a a. 7^*^ et ctà.Y'^^^ dans les quantités a et a : de plus, en fixant l'origine des coordonnées, au centre de gravité du sphéroïde dont le rayon serait a-i-aa. j Y^'^+ F^'^ + etc. j , on fera disparaître Y^'^ de Texpression de ce rayon, et alors le rayon intérieur de la couche sera de cette forme,

a -4- aa . { Y^'' -f- Y^'^ -+- Y^'^ -f- etc. } , et le rayon extérieur sera de la forme

a -h aa . i 7'^'^ -h Y'^^ -f- Y'^'^ -h etc. j .

On aura la valeur de V relative à cette couche en prenant la difiPérence des valeurs de V relatives à deux sphéroïdes dont le plus petit aurait la première quantité pour rayon de sa surface, et dont le plus grand aurait la seconde quantité pour rayon de sa surface; en nommant donc A. F ce que devient V relativement à cette couche, on aura

ira r« r^ /Y'^*) yw\ i

A.K=2 7r.(a^~a«)+4a7r.j^.r''^+y.ir''^-

Si l'on veut que le point placé dans l'intérieur de la couche soit également attiré de toutes parts, il faut que A .K se réduise à une constante indépendante de r, B et tîT; car on a vu que les différences partielles de A . F, prises par rapport à ces variables, expriment les attractions partielles de la couche sur le point attiré; on a donc alors y^'^=o, et généralement.

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