PREMIERE PARTIE, LIVRE TROISIEME
en sorte que le rayon de la surface intérieure étant donné, on aura celui de la surface extérieure.
Lorsque la surface intérieure est elliptique, on a F^'^ = o, F<*^ = o, etc. et par conséquent y(*^=o, Y'^^^=o; les rayons des deux surfaces intérieure et extérieure sont donc
ainsi Ton voit que ces deux surfaces sont semblables et semblablement situées; ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le n** 3.
14. Les formules (3) et (4) des n*" 11 et 13 embrassent toute la théorie des attractions des sphéroïdes homogènes très-peu diflFérents de la sphère; il est facile d'en conclure celle des sphéroïdes hétérogènes, quelle que soit la loi de la variation de la figure et de la densité de leurs couches. Pour cela, soit a. ( i +aj) le rayon d'une des couches d'un sphéroïde hétérogène, et supposons que j soit sous cette forme, 7^'^+ 7^*^+ 7^*^+ ^^'^4- etc. les coefficients qui entrent dans les quantités 7^'\ Y^'\ 7^*\ etc. étant des fonctions de a, et par conséquent variables d'une couche à l'autre. Si l'on dilférentie par rapport à a la valeur de V donnée par la formule (3) du n*^ 1 1, et que l'on nomme p la densité de la couche dont le rayon est a. ( i+aj), p étant une fonction de a seul, la valeur de V correspondante à cette couche sera pour un point attiré extérieur,
or * r [ or or* )
cette valeur sera donc, relativement au sphéroïde entier, V=^rpJ.a^+^rpj\a\Y^^^+^.Y^^^+^ 7î')+etc.l; (5)
3r *^* r *^^ \ or or* 7r* ) ^ '
les intégrales étant prises depuis a =r o jusqu'à la valeur de a,
qui a lieu à la surface du sphéroïde, et que nous désignerons par a.
Pour avoir la partie de V relative à un point attiré intérieur au sphéroïde, on déterminera d'abord la partie de cette valeur relative à toutes les couches auxquelles ce point est extérieur. Cette première partie est donnée par la formule (5) , en prenant l'intégrale depuis a = o jusqu'à a=^a, a étant relatif à la couche sur laquelle se trouve le point attiré. On déterminera la seconde partie de F, relative à toutes les couches dans l'intérieur desquelles ce point se trouve, en diflerentiant la formule (4) du numéro précédent, par rapport à a, en multipliant ensuite cette différence par p , et en prenant l'intégrale depuis a^=a jusqu'à a=a: la somme de ces deux parties de F sera sa valeur entière relative à un point intérieur, et l'on aura, pour cette somme,
ar ,>.,.. r
■2 7r.yi9.d!.a*+4a7r.yi9.(i. a\y(^^^.y(o+^ . } (»+ .1- .yw+etc. ; (6;
les deux premières intégrales étant prises depuis a = o, jusquà a = a, et les deux dernières étant prises depuis a=a, jusqu'à a = a; il faut de plus, après les intégrations, substituer a au iîeu
de r, dans les termes multipliés par a, et ^^ , au lieu de —,
* Cl w
dans le terme ^. fp .d. a\
15. Considérons présentement les sphéroïdes quelconques. La recherche de leur attraction se réduit, par le n° 9, à former les quantités U^'^ et v^'^i on a, par le même numéro,
m = fp . /î-\ dR . d(i\ d^'. Q^^ ; les intégrales devant être prises depuis /{ = o jusqu'à sa valeur
à la surface, depuis (x' = — i jusqu'à [i = i, et depuis tsy'=o jusqu'à 'cr' = 2 7r. Pour déterminer cette intégrale il faut connaître Q^K Cette quantité peut se développer dans une fonction finie de cosinus de l'angle ter — W et de ses multiples. Soit ê.cos. n(tsy — 'cr') le terme de Q^'\ dépendant de cos. n (ter — tsy'), ê étant une fonction de (x et de (x': si l'on substitue, au lieu de Q^'\ sa valeur, dans l'équation aux différences partielles en Q^'^ du n** 9, on aura, en comparantles termes multipliés par cos. n (tîT— tj), cette équation aux différences ordinaires,
dfA 1 — fii ^ ^
Q^'^ étant le coefficient de --j^ri dans le développement du radical
\/r'—2Rr.\(jL(jL'+\/i^(jL'\\Ji-(x\ cos. (tsr--Br') \ + R'
Le terme dépendant de cos. w (ter — tar'), dans le développement de
ce radical, ne peut résulter que des puissances de cos. (ter — t^y'),
égales à n, 7i + 2, 7i + 4i etc. ainsi cos.(ter — t^y') ayant pour fac-
teur y/i— jx", S doit avoir pour facteur ( i— jx") \ 11 est facile de voir,
par la considération dû développement du radical , que ê est de
cette forme,
(i— fifi)*. j i .ft'-"-f-iw.fi'-*-*-h-i<".ft'-»-*-i-etc. }.
Si Ton subtitue cette valeur dans l'équation différentielle en S, la comparaison des puissances semblables de (x donnera
Ai.)— {i-n-is+2).{i-n-2s+i) .,^.,^
d'où Ton tire , en faisant successivement 5=1, 5 = a , etc. les
valeurs de A^'\ A^^\ etc. et par conséquent,
A est une fonction de (x' indépendante de jx; or (x et jx' entrant de la même manière dans le radical précédent, ils doivent entrer de la même manière dans l'expression de ê; on a donc
i^y . (i-f."r- jf^"-"- ^'-"y;i;-'U -— +etc. j ,
y étant un coefficient indépendant de jx et de p!; partant.
On voit ainsi que S se partage en trois facteurs: le premier indépendant de jx et de (i ; le second, fonction de jx' seul; et le troisième , fonction semblable en jx. Il ne s'agit plus que de déterminer y.
Pour cela , nous observerons que si i — n est pair, on a , en supposant jx=o et jx'=o,
^ y.ji.2.3 [i—n)Y __ y.{i.3.5....(i— n— i).i.3.5 — (i+n— 1
Si i — n est impair, on aura, en ne conservant que la première puissance de (x et de fi,
^ y.fx,[i\\ 1 .2.3...({ — n)j y.fx./ùt'.j i .3.5. ...(i — /i).i .3.5 (l+s)
|2.4 (i— n— i).(2Η i).(2i— 3) (i+n+2)j' ji.3.5 (21 — 1)}*
