PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

Le radical précédent devient, en négligeant les carrés de |x et de (x',

\r'-2Rr.cos.{^-^)+R'f'^+Rr.yL(i\\r'^2rR.cos.{^-^')+^^ (/)

Si l'on substitue, au lieu de cos. [^ — tsy), sa valeur en exponentielles imaginaires, et si Ton nomme c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, la partie indépendante de jxfjt' devient

Le coefificient de -7— . | \ , ou de

R' -7:^:7 . cos. 71 ('BT — 'Bt'), dans le développement de cette fonction,

est

c'est la valeur de ê lorsque i — n est pair. En la comparant à celle que nous venons de trouver dans le même cas, on aura

Lorsque n=o, il ne faut prendre que la moitié de ce coefficient, et alors on a

Pareillement, le coefficient de -777 . (i(i. cos./i ('cr — W) , dans la fonction (/) , est

cest le coefficient de jxjx' dans la valeur de S, lorsque Ton néglige les carrés de pt et de (i et lorsque i — n est impair. En le comparant à l'expression que nous venons de trouver pour ce coeflBcient dans le même cas, on aura

expression qui est la même que dans le cas de i — n pair. Si n=o, on aura encore

16. De ce qui précède, nous pouvons conclure la forme générale des fonctions Y^'^ de jx, \/i — (x*. sin. ter, et y/i — (x*. cos. -or, qui satisfont à l'équation aux difiFérences partielles

0= —5 \^ILJJ.[ -+-.V L^iJi^A^Y^^.

( ûfi ) 1 — fAfl ^ '

En désignant par ê le coeiTicient de sin.ntzr ou de cos.ntar, dans la fonction y^'\ on aura

ê est égal à (1 — (Xft)^ multiplié par une fonction rationnelle et entière de jx, et dans ce cas on a, par le numéro précédent,

ê = ^<»). (,-^^)T.jf,.-» ^i=È^=^,^i +etc.j,

il^"^ étant une arbitraire; ainsi la partie de T^'^ dépendante de l'angle n^m est