PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

A^'*^ et JB^"^ étant deux arbitraires. Si l'on fait successivement dans celte fonction , n=o , n= i , 7i= 2 . . . . n = i, la somme de toutes les fonctions qui en résulteront sera l'expression générale de Y^'\ et cette expression renfermera 2 i-f-i arbitraires B^'\ A^'\ B^'\ i4^^ B'\ etc.

Considérons maintenant une fonction S, rationnelle et entière de l'ordre 5, des trois coordonnées orthogonales x, y, z. Si Ton représente par R la distance du point déterminé par ces coordonnées à leur origine; par 6 l'angle formé par R et par l'axe des oc, et par ^us l'angle que le plan des x et des y forme avec le plan passant par R et par l'axe des x, on aura

Jî.jx, y=R. y 1 — jx\ cos. 'cr, z=R.\i — ft'. sin.'cr.

En substituant ces valeurs dans S, et en développant cette fonction en sinus et cosinus de l'angle ts et de ses multiples, si S est la fonction la plus générale de l'ordre s, alors sin.ntzr et cos. ti^gt seront multipliés par des fonctions de la forme

(1— (Xjx)"^ . j A . jx'-"-t-5 . /x'-'^^-^- C . f£'~"— -t-etc.} ;

ainsi, la partie de S dépendante de l'angle n^ renfermera 2 .[s — n -h 1 ) constantes indéterminées. La partie de S dépendante de l'angle ^ et de ses multiples renfermera donc 5. (^H-i) indéterminées : la partie indépendante de ter en renfermera 5-f-i; S renfermera donc (^H-i)* constantes indéterminées.

La fonction r^'^-f- 7^*^-4- Y^'^ h- 7^'^ renferme pareillement

(5-+-1)* constantes indéterminées, puisque la fonction Y^'^ en renferme 2 i-h 1 ; on peut donc transformer S dans une fonction de cette forme, et voici la manière la plus simple d'exécuter cette transformation.

On prendra, par ce qui précède, l'expression la plus générale de 7^'^; on la retranchera de 5, et Ion déterminera les arbitraires

de Y^*^ de manière que les puissances et les produits de fi et de \/i — |X(x de Tordre s disparaissent de la diflFérence S — Y^*^; cette diflFérence deviendra ainsi une fonction de Tordre s — i, que nous désignerons par S\ On prendra Texpression la plus générale de Y^'^'^; on la retranchera de 5', et Ton déterminera les arbitraires de y^'— *^ de manière que les puissances et les produits de |x et de \/i — |x% de Tordre s — i , disparaissent de la différence S — Y^*~*K En continuant ainsi, on déterminera les fonctions Y^*\ Y^—^\ y^'— *J, etc. dont la somme forme S.