PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

ne doit donc, en vertu du théorème général du n^ 12, considérer que le terme Z'<'^ dans le développement de R''*'\ et alors on a

Lorsque le sphéroïde est homogène et peu différent d*une sphère, on peut supposer p = i, et iî = a. (i-f-aj); on a alors, en intégrant par rapport à a,

f/î'^ = ^ . /Z't'\ dii\ à^. QK

De plus , si l'on suppose y développé dans une suite de la forme

y '(0) ^ y '(I) ^ y '(.) ^ yo) ^ ^^^

Y'^^ satisfaisant à la même équation aux différences partielles que Z'^^\ on aura, en négligeant les quantités de Tordre a*,

Z'^'^=z:(z^-3) .a.tf^\ r^'^; on aura donc

l]^^=:(t. é--\JY^K d^i. d^\ Q".

Si Ton désigne par T^'^ ce que devient T^'^ lorsque l'on y change |x' et "Uf' dans |x et tîr on a, par le n® 11,

on a donc ce résultat remarquable,

/r<'Uf*'.d^.Q«=^. (i)

Cette équation ayant lieu quel que soit y^*\ on doit en conclure généralement que la double intégration de la fonction fZ'^^.d\i!.d'm\Q^^ prise depuis |x= — i jusqu à fx=i, et depuis

«=0 jusqu'à 'nr'=2'7r, ne fait que transformer Z'^^ dans -^ — ;

Z^^ étant ce que devient Z'^^ lorsque Ton y change |x' et «r' dans (X et ttT; on a donc

f/(0 à. . (dZ^\ ^^.

et la triple intégration dont dépend f/^'^ se réduit à une seule intégration prise par rapport à a, depuis a=:^o jusquà sa valeur à la surface du sphéroïde.

L*équation (i) oflFre un moyen très-simple d'intégrer la fonction /P'\Z^'\rf|x.rfisT, depuis ^= — i jusquà |x=i, et depuis t5T = o jusquà ^0=21^. En eflFet, la partie de 1'^'^ dépendante de Fangle ntar est, par ce qui précède, de la forme X.jil^"^sin./iisT-hjB^''^cos.ntar|, X étant égal à

on aura donc

r^^ = y. \ yl w. sin. n^'-h B^'^K cos. /i«' | ;

X' étant ce que devient X lorsque |x se change en |x'. La partie de Q^'^ dépendante de Fangle zitar est, par le numéro précédent, y.XX'.cos.7i(isT— «'), ouy.XX'.{cos.7itar.cos.7i^'+sin.7iisT.sin./it5T'} ; ainsi la partie de Tintégrale JY^K d[L . dm'.Q^^ dépendante de Fangle /i^cr, sera

y X . sin. n^.fX*. d(i. d^\ sin. n^'. \ A^^K sin. n^cr -H jB^"^ cos. /itar' } H-yX . COS. n^.fX\ rffi'. d^\ cos.n^\ \ A^"^ sin. /1'Ct'-+-jB^"^ cos. ntar' | .

En exécutant les intégrations relatives à 'cr', cette partie devient

yX.7r.{i4^"^sin.7itar-hjB^"^cos.7i^ j ./X'*.c/(Jt';

mais, en vertu de Féquation (i), cette même partie est égale à

lin

. X . { A^"^ sin. 711ST H- 5^"^ COS. Ti'CT j ;