PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIEME

on a donc

Représentons maintenant, par X . { A'^"^ sin. n^cr + jB'^"^ cos. nisr j la partie de Z^'^ dépendante de Tangle tmst. Cette partie doit seule être combinée avec la partie correspondante de Y ^'^ , parce que les termes dépendants des sinus et cosinus de Tangle ^ et de ses multiples disparaissent, par Tintégration , dans la fonction fY^'\Z^\d\L.d^f intégrée depuis ist=:o jusqu'alors 2 tt; on aura ainsi, en n ayant égard qu'à la partie de Y^^ dépendante de l'angle nisr,

fY^^KZ^^Kd(i.d^=

/X'.dffi. dfttT.jA^^^sin. 71^»^+ B^'^K cos^nisr}, { A'^'^K sin. n^+ff^^K cos. /wsrj

= TT. I A^"K A'^'^^+B^^'K B>)} ./X\ dii= /^^ \ A^'^K A'<'»J+ B^, ^'w j.

En supposant donc successivement dans le dernier membre 71=0,

71= 1, n=2j n = i, la somme de tous ces termes sera la

valeur de l'intégrale fY^^.Z^^.d[L.d^.

Si le sphéroïde est de révolution , en sorte que Taxe avec lequel le rayon R forme l'angle soit Taxe même de révolution , l'angle ^as disparaîtra de l'expression de Z^, qui devient alors de cette forme ,

A^^ étant une fonction de a. Nommons X^'\ le coefiTicient de A^'^ dans cette fonction : le produit

(1.2.3 (21 — 1)\* ( ï.(2l — 1) 5-^"^ — • • 1 H — (-+-etc.

est, par le numéro précédent, le coefficient de --j:^^ dans le développement du radical ,

r' — 2Rr I (jt(jt'-h\/i — (jt\ \Ji — (jt'\ COS. (tar — «') | -+-/Î'

lorsque Ton y suppose |x et (x' égaux à Tunité. Ce coefficient est alors égal à i; on a donc

c est-à-dire que V'^ se réduit à l'unité lorsque ^=1. On a ensuite

(i-t-3).(2i + i) ^^ \da ) Relativement à l'axe de révolution, jx=i, et par conséquent,

^ — (/+3).(2ï + ,)-^P'\^rfa )'^^'

donc, si l'on suppose que relativement à un point placé sur le prolongement de cet axe, on a

V= 1 H -f-etc.

on aura la valeur de V relative à un autre point placé à la même distance de l'origine des coordonnées, mais sur un rayon qui fait, avec l'axe de révolution, un angle dont (x est le cosinus, en multipliant les termes de cette valeur respectivement par X^"\ V'\ X*s etc.

Dans le cas où le sphéroïde n'est point de révolution, cette méthode donnera la partie de V indépendante de l'angle "& : on déterminera l'autre partie de cette manière. Supposons, pour simplifier, le sphéroïde tel qu'il soit partagé en deux parties égales et