PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

semblables, soit par l'équateur, soit par le méridien où l'on fixe l'origine de Tangle ^, soit par le méridien qui lui est perpendiculaire. Alors Y sera fonction de |x', sin'.isT, et cos'.'CT, ou, ce qui revient au même, il sera fonction de ^ et des cosinus de l'angle 2 «r et de ses multiples; f/^'^ sera donc nul lorsque i est impair^ et dans le cas où il est pair, le terme dépendant de l'angle 2 w& sera de la forme

C(ô. ( i ptft)\ jfl'~-"— ^'^""A^l'l^ j .COS.Î/l'OT.

Relativement à un point attiré, situé dans le plan de Téquateur où |x=o, la partie de Y dépendante de ce terme devient

, C^^ i.3.5..,.(i— 271— 1) ± -7TT.7-: r—r. — ^ ôT — 1 — : — r.cos.a/i^;

r'-*-» (l-4-27H-l).(l+2fl+3)....(2Z — 1)

d'où il suit qu'ayant développé Y dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de l'angle 21ST et de ses multiples, lorsque le point attiré est situé dans le plan de l'équateur, il suffira, pour étendre cette valeur à un point quelconque attiré, de multiplier

les termes dépendants de — \:^:r^ par la fonction

- 1.3.5 (i-2fl-l)-^^^^^ T Q.(2i-l) -f^ ^^^-j-

On aura donc ainsi la valeur entière de K lorsque cette valeur sera déterminée en série, pour les deux cas où le point attiré est situé sur le prolongement de Taxe du pôle, et où il est situé dans le plan de l'équateur; ce qui simplifie beaucoup la recherche de cette valeur.

Le sphéroïde que nous venons de considérer comprend l'ellipsoïde : relativement à un point attiré situé sur l'axe du pôle, que nous supposerons être l'axe des a:, on a, par le n** 2, 6=0, c=o,

et alors lexpression de K du n® 5 est intégrable par rapport à p. Relativement à un point situé sur le plan de Téquateur, on a a=o, et la même expression de V devient encore, par les méthodes connues, intégrable par rapport à ^^ en y faisant tang.^=t. Dans ces deux cas, l'intégrale étant prise par rapport à une de ces variables dans ses limites , elle devient ensuite possible par rapport à l'autre , et Ton trouve que M étant la masse du sphéroïde, la valeur de -rj est indépendante du demi-axe k du sphéroïde, perpendiculaire à Téquateur, et ne dépend que des excentricités de l'ellipsoïde. En multipliant donc les différents termes

des valeurs de ^r relatives à ces deux cas, et réduites en séries

ordonnées suivant les puissances de - , par les facteurs dont nous

venons de parler, pour avoir la valeur de -tt relative à un point

quelconque attiré; la fonction qui en résultera sera indépendante de it , et ne dépendra que des excentricités ; ce qui fournit une nouvelle démonstration du théorème que nous avons démontré dans le n° 6.

Si le point attiré est placé dans l'intérieur du sphéroïde, Fattraction qu'il éprouve dépend, comme on Ta vu dans le n*" 9, de la fonction i;^'\ et l'on a, par le numéro cité.

équation que l'on peut mettre sous cette forme,

= {^)'fp\'ir~) -^«-^f^'-^®'- Q'^-

Supposons R^'' développé dans une suite de la forme

;j'(oi-4-;jV^^'(«:^etc.