PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME
Supposons que Ta^e des a soit Taxe même de révolution : Téquation à la surface de l'ellipsoïde sera de cette forme ,
lorigine des coordonnées a, b, c étant au centre de Tellipsoïde, k sera le demi-axe de révolution; et si l'on nomme M la masse de l'ellipsoïde t on aura, par le n"" 2,
im
p étant la densité du fluide. Si Ton fait, comme dans le n"* 3 ,
= X*, on aura m= — --, et par conséquent,
équation qui donnera le demi-axe k lorsque X sera déterminé. Soit
^'= ""'^^3 ^ >|X — ang. tang.Xj,
^ = ^-i(i-+-5^^)-ang.tang,X-X|;
on aura, par le n® 3, en n'ayant égard qu'à l'attraction de la masse fluide,
P=A\a, Q=B\b, R=ïï.c.
Si roii nomme g la force centrifuge à la distance i de l'axe de rotation, cette force, à la distance \/6'-i-c* du même axe, sera 5f.\/6*H^c" : en la décomposant parallèlement aux coordonnées b et c, il en résultera dans Q le terme — gb, et dans R le terme — g c;on aura ainsi, en ayant égard à toutes les forces qui animent les molécules de la surface,
L*équation précédente de Téquilibre deviendra donc
o = a.da-h 7i^^K \b.db-\-c.dc\.
L'équation diffiérentielle de la surface de Tellipsoïde est, en y substituant, pour m, sa valeur ;
, b.db+c.dc
en la comparant à la précédente, on aura
(,-hX').(B'-^)=i'; (i)
si Ton substitue pour A' et B! leurs valeurs, et si Ton fait ^^—=q.
on aura
^ = Q+3;v — ^^^' '^"^S- ^' iv
En déterminant donc X par cette équation qui est indépendante des coordonnées a, b, c, on fera coïncider Téquation de Féquilibre avec celle de la surface de Tellipsoïde; d'où il suit que la figure elliptique satisfait à l'équilibre, du moins lorsque le mouvement de rotation est tel que la valeur de X* n est pas imaginaire * ou lorsqu étant négative, elle n'est pas égale ou plus grande que l'unité. Le cas de X* imaginaire donnerait un solide imaginaire ; celui de X*= — i donnerait un paraboloïde, et celui de X* négatif et plus grand que l'unité donnerait un liyperboloïde.
19. Si Ton nomme p la pesanteur à la surface de l'ellipsoïde, on aura
Dans l'intérieur de l'ellipsoïde, les forces P, Q, R sont proportionnelles aux coordonnées a, b, c; car on a vu, dans le n° 3,
