PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

de (j, détenninée par les deux équations 9 = 0, d(^ = o, sera donc la limite de celles avec lesquelles l'équilibre peut subsister, en sorte qu une plus grande valeur rend l'équilibre impossible; car q étant supposé croître Aef, la fonction ^ augmente du terme

n^^ ; ainsi la valeur de <p correspondante à q n'étant jamais négative, quel que soit X, la même fonction correspondante à 9-+-/ est constamment positive et ne peut jamais devenir nulle : l*équilibre est donc alors impossible. Il résulte encore de celte analyse qu'il n'y a qu'une seule valeur réelle et positive de q qui satisfasse aux deux équations (p = o et d(p = o. Ces équations donnent les suivantes,

o = (/+v).(34-V).(9Vx') - ""g- '"°S- ^-

La valeur de X qui satisfait à celte dernière équation est X— 2,6292; d'où l'on tire 9 = 0,337007; la quantité y 1 -f-X*, qui exprime le rapport de l'axe de l'équateur à celui du pôle, est, dans ce cas, égale à 2,7197.

La valeur de q relativement à la terre est égale à o,oo344957. Cette valeur répond à une durée de rotation de 0^,99727; or on

a généralement q= t^; en sorte que, par rapport aux masses

de même densité, q est proportionnel à la force centrifuge g du mouvement de rotation, et, par conséquent, en raison inverse du carré du temps de la rotation; d'où il suit que, relativement à une masse de même densité que la terre, le temps de la rotation qui répond à 9 = 0,337007 est de 0^,10090. De là résultent ces deux théorèmes :

Toute masse fiuide homogène d'une densité égale à la moyenne

« densité de la terre ne peut pas être en équilibre avec une figure

68 MÉGANIQUE CÉLESTE.

« elliptique, si le temps de sa rotation est moindre que 0^,1 0090. « Si ce temps est plus considérable, il y a toujours deux figures « elliptiques, et non davantage, qui satisfont à l'équilibre.

« Si la densité de la masse fluide est difi*érente de celle de la « terre, on aura le temps de la rotation dans lequel l'équilibre «cesse d'être possible, avec une figure elliptique, en multî- «pliant 0^,10090, par la racine carrée du rapport de la densité « moyenne de la terre à celle de la masse fluide. »

Ainsi, relativement à une masse fluide dont la densité ne serait qu'un quart de celle de la terre, ce qui a lieu à peu près pour le soleil, ce temps serait de 0^,201 84; et si la densité de la terre, supposée fluide et homogène, était environ 98 fois moindre que sa densité actuelle, la figure qu'elle devrait prendre, pour satisfaire à son mouvement actuel de rotation, serait la limite de toutes les figures elliptiques avec lesquelles l'équilibre peut subsister. La densité de Jupiter étant environ cinq fois moindre que celle de la terre, et la durée de sa rotation étant de oJ,4i377, on voit que cette durée est dans les limites de celle de l'équilibre.

On pourrait croire que la limite de q est celle où le fluide commencerait à se dissiper, en vertu d'un mouvement de rotation trop rapide; mais il est facile de se convaincre du contraire en observant que, par le n*" 19, la pesanteur à l'équateur de l'ellipsoïde est, à la pesanteur au pôle, dans le rapport de Taxe du pôle à celui de l'équateur, rapport qui dans ce cas est celui de 1 à 2,7197; l'équilibre cesse donc d'être possible, parce qu'avec un mouvement de rotation plus rapide, il est impossible de donner à la masse fluide une figure elliptique telle que la résultante de son attraction et de la force centrifuge soit perpendiculaire à la surface.

Nous avons supposé jusqu'ici X* positif, ce qui donne des sphéroïdes aplatis vers les pôles; examinons maintenant si l'équilibre peut subsister avec une figure allongée vers les pôles. Soit alors