PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

X*= — X'*; X'* doit être positif et moindre que l'unité, autrement Tellipsoîde se changerait en hyperboloïde. La valeur précédente de d(p donne

l'intégrale étant prise depuis X=o. En substituant, au lieu de X, sa valeur ± X'. y/ — i , on aura

or il est clair que les éléments de cette dernière intégrale sont tous de même signe, depuis X'*=o jusqu'à X'*=i; la fonction ^ ne peut donc jamais devenir nulle dans cet intervalle; ainsi l'équilibre ne peut subsister avec une figure allongée. vers les pôles. 21. Si le mouvement de rotation primitivement imprimé à une masse fluide est plus rapide que celui qui convient à la limite de q, il ne faut pas en conclure qu'elle ne peut pas être en équilibre avec une figure elliptique; car on conçoit qu'en s'aplatissant de plus en plus, elle prendra un mouvement de rotation de moins en moins rapide. En supposant donc qu'il existe, comme dans tous les fluides connus, une force de ténacité entre ses molécules , cette masse, après un grand nombre d'oscillations, pourra enfin parvenir à un mouvement de rotation compris dans les limites de l'équilibre et se fixer à cet état. Mais cette possibilité n'est encore qu'un aperçu qu'il est intéressant de vérifier : il est également intéressant de savoir s'il y a plusieurs états possibles d'équilibre; car ce que nous venons de démontrer sur la possibilité des deux états d'équilibre correspondants à un même mouvement de rotation n'entraîne pas la possibilité de deux états d'équilibre correspondants à une même force primitive , puisque les deux états d'équilibre relatifs à un même mouvement de ro-

tation exigent deux forces primitives différentes ou différemment appliquées.

Considérons donc une masse fluide agitée primitivement par des forces quelconques, et ensuite abandonnée à elle-même et à l'attraction mutuelle de toutes ses parties. Si, par le centre de gravité de cette masse supposée immobile, on conçoit un plan par rapport auquel la somme des aires décrites sur ce plan, par chaque molécule, et multipliées respectivement par les molécules correspondantes, soit, à l'origine du mouvement, un maximum; ce plan jouira constamment de cette propriété, par les n""* 21 et 22 du premier livre, quelle que soit la manière dont les molécules agissent les unes sur les autres, soit par leur ténacité, soit par leur attraction et leur choc mutuel, dans le cas même où il y aurait des pertes de mouvement brusques et finies dans un instant. Ainsi lorsqu'après un grand nombre d'oscillations la masse fluide prendra un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe, cet axe sera perpendiculaire au plan dont nous venons de parler, qui sera celui de l'équateur, et le mouvement de rotation sera tel que la somme des aires décrites, pendant l'instant dt, par les molécules projetées sur ce plan, sera la même qu'à l'origine du mouvement: nous désignerons par E.dt cette dernière somme.

Nous observerons ici que l'axe dont il s'agit est celui par rapport auquel la somme des moments des forces primitives du système était un maximum. Il conserve cette propriété pendant le mouvement du système, et devient enfin l'axe de rotation; car ce que nous avons démontré dans les numéros cités du premier livre, sur le plan du maximum des aires projetées, s'applique à Taxe du plus grand moment des forces, puisque l'aire élémentaire décrite par la projection du rayon vecteur d'un corps sar un plan, et multipliée par sa masse, est évidemment proportionnelle aa moment de la force finie de ce corps, par rapport à l'axe perpendiculaire à ce plan.