PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

Soit, comme ci-dessus, g la force centrifuge due au mouvement de rotation , à la distance i de Taxe; ^g sera la vitesse angulaire de rotation; nommons ensuite A: le demi-axe de rotation de la masse fluide, et Â:.\/i-f-X% le demi -axe de son équateur. Il est facile de s'assurer que la somme des aires décrites, pendant l'instant dt, par toutes les molécules projetées sur le plan de Féquateur, et multipliées respectivement par les molécules correspondantes, est -^ . ( 1 -f-X*) *. k\ dt . \fg; on aura donc

^.(i-4-V)'.Kv/^==£.

En nommant ensuite i)f la masse fluide, on aura

la quantité -7-^ — , que nous avons nommée a dans le n"" 1 8 , devient ainsi, ^.(i-hX*) % en désignant par q la fonction

— '- — 'Vo • L'équation du même numéro devient M'

° = 9+3X' ang. tang. X :

cette équation déterminera X. On aura ensuite A: au moyen de l'expression précédente de M.

Nommons (p la fonction

qui doit être égale à zéro, par la condition de l'équilibre : cette fonction commence par être positive lorsque X est très-petit, et finit par être négative lorsque X est infini; il existe donc entre X=o et X infini une valeur de X qui rend cette fonction nulle,

et, par conséquent, il y a toujours, quel que soit q, une figure elliptique avec laquelle la masse fluide peut être en équilibre. On peut mettre la valeur de (p sous cette forme intégrale ^

Lorsqu'elle devient nulle, la fonction

a déjà passé par zéro pour devenir négative; or, dès Tinstant où celte fonction commence à être négative, elle continue de Têtre à

mesure que X augmente , parce que la partie positive — ^ -H 1 8 ^'

diminue, tandis que la partie négative — |9'X*-Hi8. (i-f-X^) *| augmente; la fonction ^ ne peut donc pas devenir deux fois nulle; d'où il suit qu'il n'y a qu'une seule valeur réelle et positive de X qui satisfasse à l'équation de Téquilibre, et, par conséquent, le fluide ne peut être en équilibre qu'avec une seule figure elliptique.