CHAPITRE IV

DE LA FIGURE D'UN SPHEROÏDE TRÈS-PEU DIFFÉRENT D'UNE SPHERE ET RECOUVERT DUJNE COUCHE DE FLUIDE EN EQUILIBRE.

22. Nous avons considéré > dans le chapitre précédent, l'équilibre d'une masse fluide homogène, et nous avons trouvé que la figure elliptique satisfait à cet équilibre; mais, pour avoir une solution complète de ce problème, il faudrait déterminer à priori toutes les figures de l'équilibre, ou s'assurer que la figure eHiptique est la seule qui en remplisse les conditions; d'ailleurs, il est très-probable que les corps célestes ne sont pas des masses homogènes, et qu'ils sont plus denses vers le centre qu'à la surface: on ne doit donc pas, dans la recherche de leur figure, se borner au cas de l'homogénéité ; mais alors cette recherche présente de grandes difiicultés. Heureusement elle se simplifie par la considération du peu de difierence qui existe entre la figure sphérique et celles des planètes et des satellites, ce qui permet de négliger le carré de cette différence et des quantités dont elle dépend. Ni algré ces simplifications , la recherche de la figure des planètes est encore très-compliquée. Pour la traiter avec la plus grande généralité, nous allons considérer l'équilibre d'une masse fluide qui recouvre un corps formé de couches d'une densité variable, doué d'un mouvement de rotation, et sollicité par l'attraction de corps étrangers. Pour cela nous allons rappeler les lois de l'équilibre des fluides, que nous avons démontrées dans le premier livre.

Si Ton nomme p la densité d'une molécule fluide. Il la pression qu'elle éprouve , F, F\ F\ etc. les forces dont elle est ani-

TOIIE II. 10

mée; df, df, df\ etc. les éléments des directions de ces forces; l'équation générale de l'équilibre de la masse fluide sera, par le n"* 1 7 du premier livre ,

^=F.dJ-^ F'. df^+'F". df-^eic.

Supposons que le second membre de cette équation soit une différence exacte; en désignant par d(^ cette différence, p sera nécessairement fonction de II et de (p : l'intégrale de cette équation donnera ^ en fonction de II ; on pourra donc réduire p à n'ôtre fonction que de H, d'où l'on tirera II en fonction de p; ainsi, relativement aux couches de densité constante, on aura dll = o ^ et par conséquent,

o = F. df^ F. df. '-h F\ df -f- etc.

équation qui indique que la force tangentielle à la surface de ces couches est nulle , et par conséquent que la résultante de toutes les forces F, F\ F\ etc. est perpendiculaire à cette surface, en sorte que ces couches sont en même temps couches de niveau.

La pression II étant nulle à la surface extérieure, p doit y être constant, et la résultante de toutes les forces qui animent chaque molécule de cette surface lui est perpendiculaire. Cette résultante est ce que l'on nomme pesanteur. Les conditions de l'équilibre d'une masse fluide sont donc, i** que la direction de la pesanteur soit perpendiculaire à chaque point de la surface extérieure; a*" que dans l'intérieur de la masse, les directions de la pesanteur de chaque molécule soient perpendiculaires à la surface des couches de densité constante. Comme on peut, dans l'intérieur d'une masse homogène, prendre telles couches que Ion veut pour couches de densité constante, la seconde des deux conditions précédentes de l'équilibre est toujours satisfaite, et il suffit, pour l'équilibre, que la première soit remplie, c'est-à-dire que la ré-