PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

petite et de l'ordre a; en la désignant donc par ay, la pesanteur

sera égale à \/p* ~f- a*y*, quantité qui, en négligeant les termes de l'ordre a% se réduit à p. Nous pouvons ainsi considérer p comme exprimant la pesanteur à la surface du sphéroïde, en sorte que les équations (2) et (3) du numéro précédent et de celui-ci, déterminant et la figure des sphéroïdes homogènes en équilibre, et la loi de la pesanteur à leur surface, elles renferment la théorie complète de l'équilibre de ces sphéroïdes, dans la supposition où ils diffèrent très-peu de la sphère.

Si les corps étrangers S, 5', etc. sont nuls, et qu'ainsi le sphéroïde ne soit sollicité que par l'attraction de ses molécules et par la force centrifuge de son mouvement de rotation , ce qui est le cas de la terre et des planètes premières, à l'exception de Saturne, lorsque l'on n'a égard qu'à l'état permanent de leur figure; alors, en désignant par a(p le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, rapport qui est à très-peu près égal à 7^ , la

densité du sphéroïde étant prise pour l'unité, on trouvera

a.(i-+-aj)=:a.ji -^î. (fi«— |) j ,

Le sphéroïde est donc alors un ellipsoïde de révolution , sur lequel les accroissements de la pesanteur et les diminutions des rayons, en allant de l'équateur aux pôles, sont à très-peu près proportionnels au carré du sinus de la latitude, (i étant, aux quantités près de l'ordre a, égal à ce sinus.

a , par ce qui précède , est le rayon d'une sphère égale en solidité au sphéroïde; la pesanteur à la surface de cette sphère serait y tt a; ainsi l'on aura le point de la surface du sphéroïde où

la pesanteur est la même qu'à la surface de la sphère, en déterminant (X par l'équation

o = -|-i-|.(ff-i);

ce qui donne (i=^-y^.

26. L'analyse précédente nous a conduits à la figure d'une masse fluide homogène en équilibre , sans employer d'autres hypothèses que celle d'une figure très-peu différente de la sphère : elle fait voir que la figure elliptique qui, par le chapitre précédent, satisfait à cet équilibre, est la seule alors qui lui convienne. Mais comme la réduction du rayon du sphéroïde, dans une série de la forme a.\\ -l-ay^'^H-ay^'^H-etc. }, peut faire naître quelques difficultés; nous allons démontrer directement, et indépendamment de cette réduction , que la figure elliptique est la seule figure d'équilibre d'une masse ff uide homogène douée d'un mouvement de rotation ; ce qui , en confirmant les résultats de l'analyse précédente, servira en même temps à dissiper les doutes que l'on pourrait élever contre la généralité de celte analyse.

Supposons d'abord que le sphéroïde soit de révolution, et que son rayon soit a.(n-aj) , y étant une fonction de (x, ou de cosinus de l'angle 6 que ce rayon forme avec l'axe de révolution. Si l'on nomme y une droite quelconque menée de l'extrémité de ce rayon dans l'intérieur du sphéroïde; p le complément de l'angle que forme cette droite, avec le plan qui passe par le rayon a.(n-aj) et par Taxe de révolution; cj l'angle formé par la projection dey sur ce plan et par le rayon; enfin si l'on nomme V la somme de toutes les molécules du sphéroïde, divisées par leurs distances à la molécule placée à l'extrémité du rayon a.(i-+-ay'); chaque molécule étant égale af'df.dp.dcj.sin.p, on aura

V=\. fj'\ dp .dcj . sin.p,