PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

f étant ce que devient J ^\di sortie du sphéroïde. Il faut maintenant déterminer y en fonction de p et de q.

Pour cela nous observerons que si Ton nomme 0' la valeur de B relative à ce point de sortie, et a.[\-+-(ty) le rayon correspondant du sphéroïde, y étant une pareille fonction* de cos. 0' ou de (x', que y l'est de (x; il est facile de voir que le cosinus de l'angle formé par les deux droites /'et a . ( i -h (ty ) est égal à sin.p. cos.^; et qu'ainsi dans le triangle formé par les trois droites /', a.(n-aj) et a.(n-ay), on a

a\ (i -h aj )*=/'* — aa/'. (i-+-aj).sin.p. COS. ^-ha*. (i H-aj)*-

Cette équation donne pour/'* deux valeurs; mais l'une d'elles étant de Tordre a*, elle est nulle lorsque l'on néglige lés quantités de cet ordre. L'autre devient

f*=z^a\sin\p.cos\q. (i-f-2aj) -h4a«*. {y — y) ;

ce qui donne

V=ia\fdj).dq.sm.p. j ( iH- aaj). sin*.p. cos'.^H-a. (j — y) {.

11 est visible que les intégrales doivent être prises depuis p = o jusqu'à p = 7r, et depuis ^ = — yTT jusqu'à ^ = y tt; on aura ainsi

F=y7ra" — \(m . a\y -\-i(ta^ fdj) . dq.y . sïn. p.

y étant fonction de cos.0', il faut déterminer ce cosinus en fonction de p et de q; on pourra, dans cette détermination, négliger les quantités de l'ordre a, puisque j est déjà multiplié par a; cela posé, on trouvera facilement

a. cos.0'= (a — f. sin.p. cos. q) . cos.d-hf. sin.p. sin. q. sin.0;

d'où l'on tire, en substituant pour/ sa valeur 2 a. sin. p. cos. ^,

jx'=(x.cos*./) — sin'./). cos. (2^-4-0).

On doit observer ici, relativement à l'intégrale fydp. dq. siu.p, prise par rapport à q, depuis 2q = — ir jusqu'à 2q=iç, que le résultat serait le même si l'on prenait cette intégrale depuis 2^= — d jusqu'à 2(1 = 2% — dy parce que les valeurs de (x', et par conséquent celles de y sont les mêmes depuis 2q = — ir jusqu'à 2(j = — 6, que depuis 2q=% jusqu'à 2^=2 tt — 0; en supposant donc 2q-\-B=(j[, ce qui donne

jx' = (X . cos\p — sin*. p . COS. q\ on aura

V=.\ ira* — yaTT. a*j -+- aa^fy. dp . d(j\ sïn.p,

les intégrales étant prises depuis p = o jusqu'à p=iç, et depuis q=o jusqu'à ^=2%.

Maintenant, si l'on désigne par a*.N l'intégrale de toutes les forces étrangères à l'attraction du sphéroïde, et multipliées par les éléments de leurs directions, on aura, par le n** 24, dans le cas de l'équilibre ,

constante = F-f-a*. N;

et en substituant, au lieu de V, sa valeur, on aura

constante =y «tt . j — a . fy. dp . dq. sin.p — N;

équation qui n'est évidemment que l'équation de l'équilibre du n** 24, présentée sous une autre forme. Cette équation étant linéaire, il en résulte que si un nombre quelconque i de rayons a.(i-+-ay) ,

a.(i-l-at;), etc. y satisfont, le rayon a.\ i-f- ~. (jH-v-f-etc.)

y satisfera pareillement.

Supposons que les forces étrangères se réduisent à la force centrifuge due au mouvement de rotation du sphéroïde, et nommons g cette force, à la distance 1 de Taxe de rotation; nous au-