PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

rons, parle n*" 23, N=\g.{i — (x*); l'équation de l'équilibre sera, par conséquent,

const. = yair .y — a.fy.dp.dcj'.sin.p — -^g . (i — (x*).

En la di£Pérentiant trois fois de suite, relativement à (x, et en observant que l-j^\=cos\p, en vertu de l'équation

jx' = (X cos*. p — sin*. p . COS. q, on aura

^ = T'^'\j^J—fdp^dq\sin.p.cos\p

or on a jàp . dq. sin.p . cos\p= — ; on pourra donc mettre l'équation précédente sous cette forme,

o=fdp.dq\sm.p.cos\p.}^^.(^^^

Cette équation doit avoir lieu quel que soit (x; or il est clair que parmi toutes les valeurs comprises depuis (x= — i jusqu'à (x=i, il en existe une que nous désignerons par A, et qui est telle,

qu'abstraction faite du signe, aucune des valeurs de i'j^) ne surpassera pas celle qui est relative kh; en désignant donc par H cette dernière valeur, on aura

o =fdp • dq. sin.p . cos\p .Uff — f^j .

La quantité yff — (t^) ^** éviaemment du même signe que //,

et le facteur sin.p.cos'./) est constamment positif dans toute Tétendue de l'intégrale; les éléments de cette intégrale sont donc tous du même signe que H; d'où il suit que l'intégrale entière ne peut être nulle, à moins que H ne le soit lui-même, ce qui exige

que Ton ait généralement o = (-t-^J, d'où Ton tire, en intégrant,

I, m, n étant des constantes arbitraires.

Si l'on fixe l'origine des rayons au milieu de l'axe de révolution, et que l'on prenne pour a la moitié de cet axe, y sera nul lorsque (x=i et lorsque (i= — i , ce qui donne m=o et n= — /; la valeur de j devient ainsi /. (i — (x*): en la substituant dans Téquation de l'équilibre

constante=ya7r .y — afydp.dq'.sïn.p — \g . (i — (x*) ,

on trouvera al= '-^ =Aa ^, a(p étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, rapport qui est à très-peu près égal à j^ : le rayon du sphéroïde sera donc

d'où il suit que ce sphéroïde est un ellipsoïde de révolution : ce qui est conforme à ce qui précède.

Nous voilà ainsi parvenus à déterminer directement, et indépendamment des suites, la figure d'un sphéroïde homogène de révolution qui tourne slir son axe, et à faire voir qu'elle ne peut être que celle d'un ellipsoïde qui se réduit à une sphère lorsque ^=zo, en sorte que la sphère est la seule figure de révolution qui satisfasse à féquilibre d'une masse fluide homogène immobile.

De là on peut généralement conclure que si la masse fluide est sollicitée par des forces quelconques très-petites, il n'y a qu'une seule figure possible d'équilibre; ou, ce qui revient au même, il n'y a qu'un seul rayon a. (i-f-aj) qui puisse satisfaire à l'équation de l'équilibre

constante = y a tt . j — a . Jy dp . dcj'. sin. p — N;