PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME
y étant une fonction de % et de la longitude tsr, ety étant ce que devient y lorsque Ton y change et tsr en 0' et t?'. Supposons, en effet, qu'il y ait deux rayons différents a . ( i H-oy) et a . ( i -hajH-at;) qui satisfassent à cette équation, on aura
constante =y a TT . (j-f-v) — ^-/Cx'"^^') -dp.dq.sin.p — A^. En retranchant Téquation précédente de celle-cî , on aura
constante = ^iç .v — fv. dp . dq. sin. p.
Cette équation est visiblement celle d'un sphéroïde homogène en équilibre, dont le rayon est a. (i-f-av), et qui n'est sollicité par aucune force étrangère à l'attraction de ses molécules. L'angle © disparaissant de lui-même dans cette équation, le rayon a. (i-f-ar) y satisferait encore en y changeant t? successivement dans tsr-f-c/tff tff-h2 (ZtiT, etc. d'où il suit que si l'on nomme v», v,, etc. ce que devient v en vertu de ces changements, le rayon
a.\i-hav .d^-hOLi\.d'ts-+-av^.d^-+-eic.\,
ou a.(i-4-a./t;(Ztff) satisfera à l'équation précédente. Si l'on prend l'intégrale/vrftff, depuis tff=o jusqu'à ©=2 tt , le rayon a . ( i -ha.fvd^) devient celui d'un sphéroïde de révolution, qui, par ce qui précède, ne peut être qu'une sphère; voyons la condition qui en résulte pour V.
Supposons que a soit la plus courte distance du centre de gravité du sphéroïde dont le rayon est a.(i-i-at;) à la surface, et fixons le pôle, ou l'origine de l'angle 6, à l'extrémité de a; v sera nul au pôle et positif partout ailleurs; il en sera de même de l'intégrale fvd^. Maintenant, puisque le centre de gravité du sphéroïde dont le rayon est a.[i-+-av), est au centre de la sphère dont le rayon est a, ce point sera pareillement le centre de gravité du sphéroïde dont le rayon est a. (iH-a./vrftff); les différents rayons menés de ce centre à la surface de ce dernier
sphéroïde sont donc inégaux entre eux, si v nest pas nul; il ne peut donc être une sphère que dans le cas de r=o; ainsi nous sommes assurés qu'un sphéroïde homogène, sollicité par des forces quelconques très-petites, ne peut être en équilibre que d'une seule manière.
27. Nous avons supposé que N est indépendant de la figure du sphéroïde; c'est ce qui a lieu, à très-peu près, lorsque les forces étrangères à l'action des molécules fluides sont dues à la force centrifuge de son mouvement de rotation et à l'attraction des corps extérieurs au sphéroïde. Mais si l'on conçoit au centre du sphéroïde une force finie dépendante de la distance, son action sur les molécules placées à la surface du fluide dépendra de la nature de cette surface, et, par conséquent, N dépendra dey. Ce cas est celui d'une masse fluide homogène qui recouvre une sphère d'une densité diffiérente de celle du fluide; car on peut considérer cette sphère comme étant de même densité que le fluide, et placer à son centre une force réciproque au carré des distances; de manière que si l'on nomme c le rayon de la sphère, et p sa densité, celle du fluide étant prise pour unité,
cette force, à la distance r, sera égale à y tt . —^^ — - . En la multipliant par l'élément — dr de sa direction, l'intégrale du produit sera y tt .— ^^^- — -% quantité qu'il faut ajouter à a*V; et comme, à la surface, on a r=a. (i-f-aj) , il faudra, dans l'équation de l'équilibre du numéro précédent, ajouter à N, t'^ - — r~'(^ — ^y)- Cette équation deviendra
const.= -3— .|i-h(|9 — 1). — |./ — a./y.dp.dq'.sin.p — N. Si l'on désigne par a.(n-aj-t-at;) une nouvelle expression du
