PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

rayon du sphéroïde en équilibre, on aura, pour déterminer v, l'équation

const. = y TT • I iH- (p — 1 ) • "(• ^ — /^'- ^P ' d(j'' sm.p;

équation qui est celle de l'équilibre du sphéroïde, en le supposant immobile et en faisant abstraction de toute force extérieure.

Si le sphéroïde est de révolution, v sera uniquement fonction de COS. d ou de (x; or on peut, dans ce cas, le déterminer par l'analyse du numéro précédent; car si l'on différentie cette équation I-+-1 fois de suite, relativement à (x, on aura

= ±TÇ.\^l-i^{p—l).^^^

mais on a

fdp . dq. sin.p. cos*'"t"" p = — : — »

l'équation précédente peut donc être mise sous cette forme :

o=fdp.dq\sm,p.cos*^p.'^(^^y(^i+{p-i).'^^.(^^

On peut prendre t tel qu'abstraction faite du signe on ait

/ai-i-3\ ( / . c'I

en supposant donc que i soit le plus petit nombre entier positif qui rende cette quantité plus grande que l'unité, on s'assurera, comme dans le numéro précédent, que cette équation ne peut

être satisfaite, à moins que l'on ne suppose l , ^^^ ) = o; ce qui

donne

t;=(x' -f-i4 . (X'-' -+-5 . (x'"""-+-etc.

is.

En substituant, dans l'équation précédente de réquUibre, au lieu de V, cette valeur, et au lieu de v,

(l'-h A . (»'•■-' -+- B . ft''-' -+- etc.

(t étant, par le numéro précédent, égal à (i.cos\p — sin'.p.cos.^'; on trouvera d'abord

a* 2i-hi

ce qui suppose p égal ou moindre que Tunité; ainsi, toutes les fois que a, c et p ne seront pas tels que cette équation soit satisfaite, i étant un nombre entier positif, le fluide ne pourra être en équilibre que d*une seule manière. On aura ensuite

.4 = 0, B= — ' '/ . '; , etc.

en sorte que

Il y a donc généralement deux figures d'équilibre , puisque av est susceptible de deux valeurs, dont Tune est donnée par la supposition de a =0, et dont l'autre est donnée par la supposition de v égal à la fonction précédente de (x.

Si le sphéroïde est sans mouvement de rotation, et n'est sollicité par aucune force étrangère à l'action de ses molécules, la première de ces deux figures est une sphère, et la seconde a pour méridien une courbe de l'ordre i. Ces deux courbes se confondent dans le cas de 1=1, parce que le rayon a.(i-t-a(x) est celui d'une sphère dans laquelle l'origine des rayons est à la distance a de son centre ; mais alors il est aisé de voir que p == 1 , c'est-à-dire que le sphéroïde est homogène, ce qui est conforme au résultat du numéro précédent.