PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

28. Lorsque Ton a les figures de révolution qui satisfont à l'équilibre , il est facile d'en conclure celles qui ne sont pas de révolution, par la méthode suivante. Au lieu de fixer l'origine de l'angle d à l'extrémité de l'axe de révolution, supposons quelle soit à une distance y de cette extrémité, et nommons 6' la distance , à cette même extrémité , du point de la surface dont d est la distance à la nouvelle origine de l'angle d. Nommons de plus tff — ê l'angle compris entre les deux arcs d et y, nous aurons

cos.0'=cos.y. cos.0-hsîn.y.sîn.0. COS. [ts — ê) ;

en désignant donc par F (cos.0') la fonction

cos'.e' ^j'^^K . cos':^' 0' -h- etc.

le rayon du sphéroïde immobile, en équilibre, que nous venons de voir être égal à a. {i-har (cos.0)j, sera

a-f-aa. r { cos.y. cos.ô-hsin.y. sin.0. cos. (t«T — S) j ;

et quoiqu'il soit fonction de l'angle ©, il appartient à un solide de révolution, dans lequel l'angle 6 n'est point à l'extrémité de l'axe de révolution.

Puisque ce rayon satisfait à l'équation de l'équilibre, quels que soient a, ê et y, il y satisfera encore en changeant ces quantités en a, ê' et y; et, ê" et y", etc. d'où il suit que cette équation étant linéaire , le rayon

a -h CUL. r j cos.y. cos.0-+-sin.y. sin.0. COS. (t«T — S) { -f-aa. r j cos./.cos.d-f-sin.y'.sin.ô. COS. (© — €') { -4- etc.

y satisfera pareillement. Le sphéroïde auquel ce rayon appartient n'est plus de révolution; il est formé d*une sphère du rayon a, et d'un nombre quelconque de couches semblables à l'excès du

sphéroïde de révolution, dont le rayon est a-f-aa. T ((x), sur la sphère dont le rayon est a, ces couches étant posées arbitrairement les unes au-dessus des autres.

Si l'on compare l'expression de T (cos. 0) , à celle de P^^ du n"" 23, on verra que ces deux fonctions sont semblables, et qu elles ne diflfèrent que par les quantités y et ê, qui, dans P^'\ sont v et ^, et par un facteur indépendant de |x et de tsr; on a donc

o= J -\-^- ^-4-i.u-hij.r.(cos.6).

Il est facile d'en conclure que si Ton représente par aF-'^ la fonction

F'^ sera une fonction rationnelle et entière de (x, sji — (x*. cos. tsr, \J \ — (X*. sin.tff, qui satisfera à l'équatîon aux différences partielles

en choisissant donc pour F'^ la fonction la plus générale de cette nature, la fonction a. ( i -j-al'^'^) sera l'expression la plus générale du sphéroïde immobile, en équilibre.

On peut parvenir au même résultat au moyen de l'expression de V en séries du n** 11; car l'équation de l'équilibre étant, par le numéro précédent ,

const. = \ -\-a\ N;

si Ton suppose que toutes les forces étrangères à l'action réciproque des molécules fluides se réduisent à une seule force attrac-