PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

live égale à y ir.^ — ^ — , placée au centre du sphéroïde, en multipliant cette force par l'élément — dr de sa direction, et en l'intégrant ensuite, on aura

IPllil:^' = a\ N;

fir.

et comme, à la surface, r=a. (i-f-aj), l'équation précédente de l'équilibre deviendra

const.=: Fn-y TT. — . (i — p)-J-

En substituant, dans cette équation, au lieu de V, sa valeur donnée par la formule (3) du n"* 11, dans laquelle on mettra pour r sa valeur a. (i-haj), et en substituant pour j sa valeur

y (•) ^ y (0 ^ y w ^ etc.

on aura

(-pl-S-lïfer)!-'""^-''-

la constante a étant supposée telle que const.= y Tr.o*. Cette équation donne F^"^ = o, Y^'^= o, r^'^ = o, etc. à moins que le coefficient de l'une de ces quantités, de F^*^ par exemple, ne soit nul, ce qui donne

(^-^)-^ = ÏÏTT'

i étant un nombre entier positif, et, dans ce cas, toutes ces quantités sont nulles, excepté Y^"^; on aura donc alors j;=y^'\ ce qui est conforme à ce que nous venons de trouver.

On voit ainsi que les résultats obtenus par la réduction de V en série ont toute la généralité possible, et qu'il n'est point à craindre que quelque figure d'équilibre échappe à l'analyse fondée sur cette réduction ; ce qui confirme ce que l'on a vu à priori

par l'analyse du n*" 11, dans lequel nous avons prouvé que la forme que nous avons donnée au rayon des sphéroïdes n'est point arbitraire, et découle de la nature même de leurs attractions.

29. Reprenons maintenant l'équation (i) du n° 23. Si Ton y substitue pour V sa valeur donnée par la formule (6) du n^ 14, on aura, relativement aux différentes couches fluides,

riË=:27r./p.c/.a'+4air./|0.c/.ja\P + ^.y^^^^

ôr ^^ ^ jr f 3^ 5yj ^^^ »

+ a^^ { Z^^'>Z(«)+r.Zw+r\Z'*^+etc. | ; (i)

les diflérentielles et les intégrales étant relatives à la variable a : les deux premières intégrales du second membre de celte équation doivent être prises depuis a = a jusqu'à a=i, a étant la valeur de a relative à la couche fluide de niveau que l'on considère, et cette valeur à la surface étant prise pour unité : les deux dernières intégrales doivent être prises depuis a = o jusqu'à a = a: enfin le rayon r doit être changé en a. (i-f-aj) après toutes les différentiations et les intégrations. Dans les termes multipliés par

a, il suffira de changer r en a; mais, dans le terme -^-fp^d. a%

il faudra substituer a. (i-haj) pour r; ce qui le change dans celui-ci , -jT- . ( i — OLy) .fp . d. a\ et par conséquent dans le suivant,

l^.ji — a.l " — a.l ' — a.l * — etc.}./p.c/.a\

Cela posé, si, dans l'équation (i),on compare les fonctions semblables, on aura d'abord

— = 2ir .fp. d. a^-h- /^ aijp .fp. d{a\Y^') -h -r^fp.d.a'