PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

les deux premières intégrales du second membre de celte équation étant prises depuis a = a jusqu'à a=i; les trois autres intégrales de ce second membre devant être prises depuis a = o jusque a = a. Cette équation ne déterminant ni a, ni F^'^ mais donnant seulement un rapport entre ces deux quantités, on voit que la valeur de Y^'^ est arbitraire, et peut être déterminée à volonté. On aura ensuite, i étant égal ou plus grand que l'unité,

la première intégrale étant prise depuis a = a jusqu'à a=i, et les deux autres étant prises depuis a = o jusqu'à a = a. Cette équation donnera la valeur de F^'^ relative à chaque couche fluide, lorsque la loi des densités p sera connue.

Pour réduire ces différentes intégrales dans les mêmes limites , soit

-i^.fp.d. (^) -h z"^ = -t- . z'"' ,

l'intégrale étant prise depuis a = o jusqu'à a=i; Z'^*^ sera une quantité indépendante de a, et l'équation (2) deviendra

o = (21 -f-i). a\Y^\fp.d.a'-h^a'^^\fp. d. (^J

toutes les intégrales étant prises depuis a=o jusqu'à a=a.

On pourra faire disparaître les signes d'intégration par des différentiations relatives à a, et l'on aura l'équation différentielle du second ordre

fddY^ ( 1.(1+1) 6p.a ) yn) 6.p.a' (dY^\ \ (/a* / I a* fp.d.a*)' fp.d.a^' \da /

L'intégrale de celte équation donnera la valeur de Y^^ avec deux constantes arbitraires; ces constantes sont des fonctions rationnelles et entières de Tordre i, de (x, y/i— (x*. sm.'Gf, et \/i— (x*. cos. lar, telles, quen les représentant par U''\ elles satisfont à Féquation aux différences partielles

— 5 .—A—T—ZJ ^. -V ^^ -)-i.(<-l-ll.t/"'.

L'une de ces fonctions se déterminera au moyen de la fonction Z'^'^ qui a disparu par les différentiations, et il est visible quelle sera un multiple de cette fonction. Quant à l'autre fonction, si l'on suppose que le fluide recouvre un noyau solide, elle se déterminera au moyen de l'équation à la surface du noyau, en observant que la valeur de Y^'^ relative à la couche fluide contiguë à cette surface est la même que celle de cette surface. Ainsi la figure du sphéroïde dépend et de la figure du noyau intérieur, et des forces qui sollicitent le fluide.

30. Si le sphéroïde est entièrement fluide, rien ne déterminant alors une des constantes arbitraires, il semble qu'il doit y avoir une infinité de figures d'équilibre. Examinons particulièrement ce cas, d'autant plus intéressant qu'il paraît avoir eu lieu primitivement pour les corps célestes.

Nous observerons d'abord que les couches du sphéroïde doivent diminuer de densité en allant du centre à la surface, car il est clair que si une couche plus dense était placée au-dessus d'une couche moins dense, ses molécules pénétreraient dans celle-ci , de même qu*un corps pesant s'enfonce dans un fluide de moindre densité: le sphéroïde ne serait donc point en équilibre. Mais quelle que soit sa densité au centre, elle ne peut être que finie; en réduisant donc l'expression de p dans une suite ascendante par rapport aux puis-