PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

sances de a, cette suite sera de la forme ê — y.a"" — etc. 6, y et n étant positifs; on aura ainsi

^ — ' — h etc.

fp.d.a' (n+3).e

et l'équation différentielle en 1 "' deviendra

6 ( nyM"

Pour intégrer cette équation, supposons que 1 ■' soit développé dans une suite ascendante par rapport aux puissances de a de cette forme ,

Téquation différentielle précédente donnera

(5H-i-H3).(5 — i-hs). a' -\ U^'-h (5'-4-H-3).(s' — /--h-a) a' \i ''-^ etc.

=,^^^,\^s^i).a'-\ L^^'^-f-(5'-f-i).a''-\ L''^''-t-etc.!. (e)

En comparant les puissances semblables de a, on a d'abord (5-i-îH-3).(5 — i-h2) = o; ce qui donne s = i — 2 et s= — i — 3. A chacune de ces valeurs de s répond une série particulière qui, étant multipliée par une arbitraire, sera une intégrale de Téquation difiTérentielle en Y^*^ : la somme de ces deux intégrales en sera Tintégrale complète. Dans le cas présent, la suite, qui répond à 5 = — i — 3, doit être rejetée; car il en résulterait pour a 1''^ une valeur infinie, lorsque a serait infiniment petit, ce qui rendrait infinis les rayons des couches infiniment voisines du centre. Ainsi, des deux intégrales particulières de l'expression de r^'-, celle qui répond à 5=1 — 2 doit seule être admise. Cette expres-

sion ne renferme plus alors qu une arbitraire qui sera déterminée par la fonction Z^'\

Z^'^ étant nul par le n"* 23, Y^'^ est pareillement nul, en sorte que le centre de gravité de chaque couche est au centre de gravité du sphéroïde entier. En effet, l'équation différentielle en Y^'^ du numéro précédent donne

/d(fFn (2 6pa ) y^,, e.p.a' (AX1\

\da* ) (a* jp.rf.a') jp.dM^\da /

On satisfait à cette équation en faisant 7^'^= , (/^'^ étant indépendant de a. Cette valeur de î ''^ est celle qui répond à Téquation s=i — 2; elle est, par conséquent, la seule que Ton doive admettre. En la substituant dans l'équation (2) du numéro précédent, et en y supposant Z^'' == o , la fonction (/^'^ disparaît, et par conséquent reste arbitraire; mais la condition que l'origine du rayon r est au centre de gravité du sphéroïde terrestre la rend nulle, car on verra, dans le numéro suivant, qu'alors î^'^ est nul à la surface de tout sphéroïde recouvert d'une couche de fluide en équilibre; on aura donc, dans le cas présent, [/^'^ = o; ainsi y^'^ est nul relativement à toutes les couches fluides qui forment le sphéroïde.

Considérons maintenant l'équation générale

Y^^ = a\U^^^-^af.W^-heic.

s étant, comme on vient de le voir, égal à i — 2, s est nul ou positif, lorsgue i est égal ou plus grand que 2 ; de plus , les fonctions U'^\ U"^'\ etc. sont données en f/^'^ par l'équation [e) de ce numéro; en sorte que l'on a

h étant une fonction de a, et U^'^ en étant indépendant. Si Ton