PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIEME
substitue cette valeur de Y^"^ dans l'équation dififérentielle en Y^'\
on aura
ddh (. /. X 6p. a' 1 h 6. p. a' dh
da* ( ^ ^ jp.d.a^)' a^ fp.d.a^' da'
Le produit i. (n-i) est plus grand que jj—^^ lorsque i est égal
ou plus grand que a ; car la fraction ,/' ^ est moindre que l'unité; en eflfet, son dénominateur fp.d.a' est égal à p . a' — fa\ dp , et la quantité — fd'-dp est positive, puisque p diminue du centre à la surface.
dh
Il suit de là que het-j- sont constamment positifs du centre à
la surface. Pour le faire voir, supposons que ces deux quantités soient positives en partant du centre; dh doit alors devenir négatif avant h, et il est clair qu'il doit, pour cela, passer par zéro; mais, dès l'instant où il est nul, dh devient positif en vertu de l'équation précédente, et par conséquent dh commence à croître: il ne peut donc jamais devenir négatif; d'où il suit que h et dh consei^ent constamment le même signe, du centre à la surface. Maintenant ces deux quantités sont positives en partant du centre; car on a , en vertu de l'équation ( e ) , s — i=s-^n — a , ce qui donne $ = {-+-11 — 2 ; on a ensuite
d'où l'on tire
on aura donc
(/i+3).('ii+n-M).e'
A=tf— -f- , \. . \ , — —^ -h etc.
du ^ * (n-t-3).(2i+w+i).6
y, ê et /i étant positifs, on voit quau centre h et dh sont positifs lorsque i est égal ou plus grand que 2 ; ils sont donc constamment positifs du centre à la surface.
Relativement à la Terre, à la Lune, à Jupiter, etc. Z^'^ est nul ou insensible lorsque i est égal ou plus grand que 3 ; l'équation (2) du numéro précédent devient alors
la première intégrale étant prise depuis a = a jusqu'à a= 1 , et les deux autres étant prises depuis a = o jusqu'à a = a. A la surface où a=i , cette équation devient
o=z\--[2i-}-i).h.fp.d.a'-+-^.fp.d.{a''*'\h)\.V^\
équation que Ton peut mettre sous cette forme :
0=1 — (21 — 1) .p .h-^[ii-^\) .h.fa\dp—Z .fa'-^'h.dp\.U^'\
dp est négatif du centre à la surface, et h croît dans le même intervalle; la fonction [ii-\-\).h.fa\dp — i .fcC^^h.dp est donc négative dans le même intervalle; ainsi, dans l'équation précédente, le coefficient de JJ^^ est négatif et ne peut être nul à la surface; Ï7'^ doit donc être nul, ce qui donne y^'^==o; l'expression du rayon du sphéroïde se réduit ainsi à a-f-aa. jî^"^-{-y^* j; c'està-dire que la surface de chaque couche de niveau du sphéroïde est elliptique, et, par conséquent, sa surface extérieure est elliptique.
Z^', parrapportàlaTerre,est,par len*" 23, égal à — —. (jx'—y); Téquation ( a ) du numéro précédent donne ainsi
0= if ir . a'./p. dh-\'tta\h .fp. d.a:+\ is .fp. d. [a'k) | . l "'- -2- . a'. ((*•-- i-) .
