PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

À la surface, la première intégrale fp-dh est nulle; on aura donc à cette surface où a=i ,

\'!r.h.jp.d.a^—^'n.jp.d.[a^h) '

Soit a ^ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à Téquateur; l'expression de la pesanteur étant, aux quantités près de Tordre a, égale à \'K .fp.d.a\ on aura ^ = y ira^ ./p.c/. a'; partant

^ ' fp.a^da

en comprenant donc dans la constante arbitraire a, que nous avons prise pour Tunité, la fonction

^'' '' fp.a^da

le rayon du sphéroïde terrestre à la surface sera

^ ' jp.a^da

Ce rayon est celui d'un ellipsoïde de révolution dont le demi petit axe est Tunité, et dont le demi-grand axe est

2 k ^ jp/^'^'^'^'y

^ ' fp.a*da

La figure de la Terre^ supposée fluide, ne peut donc être que celle d'un ellipsoïde de révolution, dont toutes les couches de même densité sont elliptiques et de révolution, et dans lequel les ellip-

ticités croissent, et les densités diminuent du centre à ]a surface. Le rapport des ellipticités aux densités est donné par Téquation diflférentielle du second ordre

ddh 6h l pa^ ) ip.a'^ dh

da* a*'( 3./p.a*daj fp.a^da' da'

Cette équation n'est intégrable par les méthodes connues que dans quelques suppositions particulières sur les densités p; mais si la loi des ellipticités était donnée, on aurait facilement celle des densités correspondantes. On a vu que l'expression de h, donnée par l'intégrale de cette équation, ne renferme, dans la question présente, qu'une arbitraire qui disparaît de la valeur précédente du rayon du sphéroïde; il n'y a donc qu'une seule figure d'équilibre, très-peu différente de la sphère, qui soit possible, et il est facile de s'assurer que les limites de l'aplatissement de cette

figure sont — et y . a ^ , dont la première répond au cas où toute

la masse du sphéroïde serait réunie au centre, et dont la seconde répond au cas où cette masse serait homogène.

Les directions de la pesanteur, depuis un point quelconque de la surface jusqu'au centre, ne forment point une ligne droite, mais une courbe dont les éléments sont perpendiculaires aux couches de niveau qu'elle traverse : cette courbe €st la trajectoire à angles droits de toutes les ellipses qui, par leur révolution, forment ces couches. Pour déterminer sa nature, prenons pour axe le rayon mené du centre au point de la surface, étant l'angle que ce rayon forme avec l'axe de révolution. On vient de voir que l'expression générale du rayon d'une couche quelconque du sphéroïde est a-r-ak.ah.[i — jx'], k étant indépendant de a; de là il est facile de conclure que si l'on nomme ay l'ordonnée abaissée d'un point quelconque de la courbe sur son axe, on aura

' ? • /i i r h,da)

ay=aa/î.sin. 2W.{c — ( ,