PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

c étant la valeur entière de l'intégrale 1 — ^ — prise depuis le centre

jusqu'à la surface.

' 31. Considérons présentement le cas général dans lequel le sphéroïde f toujours fluide à sa surface, peut renfermer un noyau solide d'une figure quelconque peu différente de la sphère. Le rayon mené du centre de gravité du sphéroïde à sa surface, et la loi de la pesanteur à cette surface, ont quelques propriétés générales qu'il est d'autant plus essentiel de considérer que ces propriétés sont indépendantes de toute hypothèse.

La première de ces propriétés est que, dans l'état d'équilibre, la partie fluide du sphéroïde doit toujours se disposer de manière que la fonction Y^'^ disparaisse de l'expression du rayon mené du centre de gravité du sphéroïde entier à sa surface, en sorte que le centre de gravité de cette surface coïncide avec celui du sphéroïde.

Pour le faire voir, nous observerons que R étant supposé représenter le rayon mené du centre de gravité du sphéroïde à l'une quelconque de ses molécules, l'expression de cette molécule sera p. R\dR.dll. d'us; et l'on aura, par le n"" 12, en vertu des propriétés du centre de gravité,

o=fp.R\dR.d^.d^.li,

o =fp . R'- dR . d(i . rftar . \/i — (x*. sin. ta? ,

o =fp .R'.dR.d^. d'us . \J 1 — (x'. COS. ta? ;

Concevons l'intégrale fp.R\dR prise relativement à jR, depuis l'origine de jR jusqu'à la surface du sphéroïde, et ensuite développée dans une série de la forme

N'" -+- A' '" -f- N^*^ -+- iV'^' "h etc.

N^^ étant, quel que soit i, assujetti à l'équation aux différences partielles

on aura, par le n® 12, lorsque i est différent de F unité,

o =:ifN^'K dii.d'cs . \/ 1 — fjt\ COS. tar.

Les trois équations précédentes , données par la nature du centre de gravité, deviendront

o == fN^'K ^.dfi.d'cs; o=fN^'K dfi.d^. y/i — (x*. sin. «;

o =y iV^*^ .d\L.d^. \J \ — (jt*. COS. tar.

iV '^ est la forme H^L-i-H' .\Ji — (jt*.sin.'CT4-^\ y/i — (i*. cos.tar; en substituant cette valeur, dans ces trois équations ^ on aura

partant iV^*^ = o: c*est la condition nécessaire pour que Torîgine de R soit au centre de gravité du sphéroïde.

Voyons maintenant ce que devient N^'^ relativement aux sphéroïdes peu différents de la sphère et recouverts d*un fluide en équilibre. On a, dans ce cas, /î = a. ( i -h aj) , et l'intégrale fp.R\dRy devient \fp.d.\a\ [i^koLy] \y la diflPérentielle et Tintégrale étant relatives à la variable a, dont p est fonction. En substituant pour y sa valeur y^'^-i- y ^'^-f- F^'^-h etc. on aura

L'équation (2) du n* 29 donne à la surface où a= 1, et en observant que Z^'^ est nul,

fp.d.[a\Y^'^) = Y^'Kfp.d.a\

la valeur de F'\ dans le second membre de cette équation, étant